Si $x+y=10^{200}$ luego probar que se 50 divide $x$

Question

Deje $x$ ser un entero positivo y $y$ es otro número entero obtenido después de la reorganización de los dígitos de $x$. Si $x+y=10^{200}$ demostrar que $x$ es divisible por 50.
Mi intento
Desde $y$ es el dígito de reordenamiento de $x$, por lo que $x$ $\cong$ $y$ $\bmod{9}$ a partir de allí tenemos la $x$ $\cong$ $5$ $\bmod{9}$ y $y$ $\cong$ $5$ $\bmod{9}$. También es posible últimos dígitos de la $x$ $y$
$(0,0), (1,9),(2,8),(3,7) , (4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)$.

Para los últimos dígitos $(0,0), (2,8), (4,6),(6,4),(8,2)$ divisibilidad por $2$ está asegurada, pero la divisibilidad por $25$ y el caso general es eludir mí. Alguien puede ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Podemos suponer $x$ $y$ son no-cero. Así que, con el adecuado inicial $0$-relleno, cada uno ha $200$ dígitos.

Si $x$ termina en $00$ hemos terminado. Supongamos ahora que $x$ termina en $0$ pero no $00$. A continuación, la siguiente a los últimos dígitos de la $x$ $y$ $10$'s de los complementos de cada uno de los otros, y no cero. Cada una de las $x$ $y$ $198$ dígitos que se $9$'s de los complementos de cada uno de los otros. Estos vienen en pares, ya que los dígitos se permutan. Así que la próxima para el último dígito de la $x$ $y$ son iguales, y por lo tanto cada una es $5$.

Y no podemos tener el último dígito distinto de cero, para que en el resto de $x$ $y$ los dígitos que vienen en $9$'s del complemento y los pares de $199$ es impar.