Demostrando que $\mathbb{Q}$ no es ni abierto ni cerrado en $\mathbb{R}$

Question

Necesito averiguar si $\mathbb{Q}$ es abierto o cerrado en $\mathbb{R}$ y probar mis afirmaciones. No creo que sea ninguno. Me gustaría una revisión/crítica de mis pruebas para asegurarme de que no hay una manera más fácil de hacerlo.

Para ver que no es abierto, tome algunos $\frac{m}{n}$ con $m$ y $n$ ambos cuadrados perfectos para que $\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{1}{2}}$ sea racional. Tenemos que $x \mapsto x^{\frac{1}{2}}$ es continuo. Por lo tanto, para cualquier vecindad $\epsilon$ de $\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{1}{2}}$, existe una vecindad $\delta$ de $\frac{m}{n}$ que se mapea en ella. pero

$$ \begin{eqnarray*} \frac{m}{n} - \frac{cm}{cn + 1} < \delta &\Leftrightarrow& \frac{m}{n(cn + 1)} < \delta n(cn + 1) \\ &\Leftrightarrow& \frac{m}{\delta n^{2}} < \left(nc^{2} + 1\right)^{2} \\ &\Leftrightarrow& \frac{m}{\delta n^{4}} < c^2 + \frac{2}{n}c + \frac{1}{n^{2}} \\ &\Leftrightarrow& \frac{m}{\delta n^{4}} < \left(c + \frac{1}{n}\right)^{2} \\ &\Leftrightarrow& \left(\frac{m}{\delta n^{4}}\right)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{n} < c \end{eqnarray*} $$

Así que podemos hacer $\frac{cm}{cm + 1}$ tan cerca de $\frac{m}{n}$ como queramos tomando $c$ lo suficientemente grande. Si $cm$ es un cuadrado perfecto, entonces $c$ debe ser un cuadrado perfecto porque $m$ lo es, por lo que simplemente podemos elegir un $c$ que no sea un cuadrado perfecto y por lo tanto $\left(\frac{cm}{cn +1}\right)^{\frac{1}{2}}$ es irracional. Debido a que podemos colocar un irracional arbitrariamente cerca de al menos un racional positivo, $\mathbb{Q}$ no es abierto.

Para mostrar que $\mathbb{Q}$ no es cerrado, simplemente elija algún irracional $\alpha$ y deje que $\epsilon_n = \frac{1}{n}$. Elija $x_n$ entre $\alpha - \epsilon_n$ y $\alpha$. Luego, la secuencia $x_n$ converge a $\alpha$ lo que muestra que el complemento de $\mathbb{q}$ en $\mathbb{R}$ no es abierto ya que podemos colocar un racional en cualquier vecindad $\epsilon$ de cualquier irracional.

Probar que los racionales no son abiertos fue mucho más difícil que probar que no son cerrados porque mi libro no había probado que los irracionales son densos en $\mathbb{R}$ y por lo tanto no pude usar eso. ¿Hay alguna otra manera en la que podría hacer esto?

Answer 1

Ciertamente tienes razón en que todo lo que necesitas para mostrar que $\mathbb{Q}$ no es abierto es mostrar que dado un número racional $q$, puedes encontrar irracionales arbitrariamente cercanos a $q$. Una forma muy sencilla de hacer esto es tomar tu número irracional favorito, por ejemplo $\sqrt{2}$ y luego considerar $\sqrt{2}/n$ con $n$ un número entero. Estos números nunca son racionales, y se hacen arbitrariamente pequeños; por lo tanto, si $q$ es un número racional dado, entonces $q+\frac{\sqrt{2}}{n}$ estará tan cerca como desees de $q$ al tomar $n$ suficientemente grande.

Answer 2

Hay muchas pruebas de esto.

NO CERRADO:

• Los racionales son densos porque los reales son la completación de Cauchy de los racionales, por lo que $\mathbb{Q}$ no está cerrado.
• Los racionales son densos porque los reales son la completación de Dedekind de los racionales, por lo que también.
• La expansión decimal de $\pi$ da una secuencia de racionales cuyo límite no es racional, por lo que nuevamente no está cerrado.
• Cualquier conjunto denso cerrado contiene una copia del espacio de Cantor, que tiene tamaño continuo.

NO ABIERTO:

• Los singletons están cerrados, por lo que si los racionales fueran abiertos, cada conjunto de la forma $\mathbb{Q} \setminus \{ q \}$ sería abierto denso, por lo que su intersección sería densa por categoría de Baire, pero su intersección es vacía.
• Los conjuntos abiertos tienen medida positiva, pero los racionales tienen medida 0.
• Los irracionales son densos: Si $q$ es un racional, entonces la secuencia irracional $\pi ^{1/n}q$ tiende a $q$. Lo hace también $q - \frac{\pi}{n}$. Los conjuntos densos deben intersectar con cada conjunto abierto pero los racionales no se intersectan con los irracionales, por lo que los racionales no son abiertos.
• También, dado que los irracionales son densos, no están cerrados, de lo contrario serían todo $\mathbb{R}$. Por lo tanto, su complemento, los racionales, no son abiertos.

Answer 3

Puedes probar que los números irracionales son densos, y luego podrás usarlo. Si $\alpha$ es cualquier número irracional, entonces los múltiplos racionales no nulos de $\alpha$ forman un conjunto denso de irracionales.

Por ejemplo, para mostrar que hay un múltiplo racional de $\sqrt{2}$ en el intervalo $(a,b)$, podrías primero encontrar un número racional no nulo $r$ en el intervalo $\left(\frac{a}{\sqrt 2},\frac{b}{\sqrt 2}\right)$, luego multiplicar por $\sqrt 2$. (Quieres que $r\neq 0$ para que $r\sqrt 2$ sea irracional.)

Answer 4

Para mostrar que Q no es abierto, puedes usar el hecho de que Q no es abierto si y solo si el complemento de Q no está cerrado.....toma una secuencia Un en el complemento de Q (R\Q) tal que Un = (n+√2)/(n+1) ....... .lim Un = p....(p∈R) entonces p ∈Q así que p∉Q complemento ....entonces el complemento de Q no está cerrado por lo tanto Q no es abierto