¿Convergen $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$?

Question

¿Las siguientes series convergen o divergen? $$ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} $$ los tengo a mi disposición los métodos son geométricos y serie armónica, prueba de comparación, prueba de comparación de límite y la relación de la prueba.

Answer 1

$n\geq 1$, Que tenemos por lo tanto, $\sqrt n+\sqrt{n+1}\leq 2\sqrt{n+1}\leq 2(n+1)\leq 4n$ $$\frac 1{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\geq \frac 1{4n}\geq 0$ $ y podemos concluir usando el hecho de que el $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1k$ de la serie armónica es divergente.

Answer 2

No es difícil ver %#% $ #%

Como ustedes saben esta serie es divergente.

Answer 3

También tiene toda su experiencia con los límites y aproximación disponible. La observación clave que hace que las cosas 'obvio' es que $\sqrt{n+1} \approx \sqrt{n}$ y así

$$ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \approx \frac{1}{2\sqrt{n}} $$

así que usted puede aplicar sus conocimientos sobre la convergencia de las sumas de la forma $\sum 1/n^s$. Por ejemplo, desde $s = 1/2$, esto debe divergir más rápido que la serie armónica - mucho más rápido realmente - y por lo tanto no debería tener ningún problema en la comparación de la suma original a la serie de armónicos (por ejemplo, como en la respuesta de Davide).

Answer 4

Usted puede utilizar el simple hecho de que $n\ge \sqrt n$ cuando $n\ge 1$. Luego utilizando una trivial desigualdad obtenemos:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2(n+1)}=\frac{1}{2}(H_n-1) \rightarrow \infty\le\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n + n+1}\le\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$$

Q.E.D.