No, no, no.
La idea básica de la prueba: se puede definir una interpretación alternativa de la lógica tal que la lógica es correcta con respecto a dicha interpretación, sino $\triangledown(\top, \top)$ no es válido en la interpretación, por lo tanto, lo que implica que $\triangledown(\top, \top)$ no puede ser un teorema de la lógica.
Vamos a limitarnos a la mínima normal de la lógica modal $K_2$. Necesitamos la siguiente alternativa caracterización de la misma:
Para todos modal fórmulas $\phi$, $\psi$ y $\rho$, tenemos que
- Todos proposicional tautologías (y el resultado de cualquier uniforme de sustitución que se les aplica, en otras palabras, cualquiera de sus instancias, incluyendo aquellas que contengan modal fórmulas) pertenecen a $K_2$
- Si $\phi \in K_2$$\phi\rightarrow\psi \in K_2$,$\psi \in K_2$,
- $\triangledown(\phi,\rho)\rightarrow(\triangledown(\phi\rightarrow \psi,\rho)\rightarrow \triangledown(\psi,\rho))\in K_2$ $\triangledown(\rho,\phi)\rightarrow(\triangledown(\rho,\phi\rightarrow \psi)\rightarrow \triangledown(\rho,\psi))\in K_2$,
- $\triangle(\phi,\psi)\leftrightarrow\neg\triangledown(\neg \phi,\neg \psi) \in K_2$,
- Si $\phi \in K_2$$\triangledown(\phi,\bot) \in K_2$$\triangledown(\bot,\phi) \in K_2$,
y no hay otra fórmula pertenece a $K_2$.
En este punto, se debe demostrar que $K_2$ es de hecho una normal de la lógica modal, o más precisamente, debemos demostrar que $K_2$ está cerrado para el uniforme de sustitución, como el resto sigue trivialmente. Tenga en cuenta que la noción de "pertenencia a $K_2$" natural inductivo estructura; hacer una inducción sobre eso, y la prueba de cierre uniforme substituition de la siguiente manera.
A continuación, vamos a definir la interpretación alternativa. En primer lugar, definir Un marco de Kripke a ser una tupla de $(W,R_a,R_b)$ donde $W$ es un conjunto, y $R_a,R_b$ son relaciones binarias sobre $W$ (es decir, $R_a,R_b \subseteq W\times W$). Un Un-modelo de Kripke es una tupla $(F,V)$ donde $F$ es Un marco de Kripke, y $V$ es una valoración de la función, una función proposicional de cartas a los conjuntos de elementos de W (es decir, $V : \Phi \rightarrow P(W)$ donde $\Phi$ es el conjunto de letras proposicionales, y $P(W)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de a $W$).
A continuación, vamos a definir la Una satisfacción en la relación $\Vdash^A$, una relación entre Un-modelos de Kripke, elementos de W, modal y fórmulas. Vamos $w,v\in W$, $M=((W,R_a,R_b),V)$ ser Un modelo de Kripke, y $\phi, \psi$ modal fórmulas. Tenemos:
$$
M,w \Vdash^p \textrm{ si } w \V(p)
$$
$$
M,w \Vdash^A \phi\lor\psi \textrm{ si } M,w \Vdash^A \phi \textrm{ o } M,w \Vdash^A \psi
$$
$$
M,w \Vdash^A \neg\psi \textrm{ si } M,w \Vdash^A \psi \textrm{ no es el caso (es decir, $M,w \nVdash^A \psi$) }
$$
$$
M,w \Vdash^A \triangledown(\phi \psi),\textrm{ con }\phi\neq\bot\textrm{ y }\psi\neq\bot \textrm{ o } \phi=\psi=\bot\textrm{ no es el caso}
$$
$$
M,w \Vdash^A \triangledown(\bot \psi),\textrm{ con }\psi\neq\bot \textrm{ ffi para todos los mundos } v\W \textrm{ tales que } R_awv, \textrm{ hemos } M,v \Vdash^A \psi
$$
$$
M,w \Vdash^A \triangledown(\phi \bot),\textrm{ con }\phi\neq\bot \textrm{ ffi para todos los mundos } v\W \textrm{ tales que } R_bwv, \textrm{ hemos } M,v \Vdash^A \phi
$$
Todas las demás fórmulas puede ser definido en términos de los mencionados anteriormente, en particular, $\top$ se define como $\neg\bot$, e $\triangle(\phi,\psi)$ está definido por la dualidad, como $\neg\triangledown(\neg\phi,\neg\psi)$. Así que esto nos da la satisfability de $\triangledown(\top, \top)$ en esta interpretación de lo imposible, ya que $\top\neq\bot$.
Entonces todo lo que queda es el establecimiento de la principal corrección resultado; vamos a demostrar que, para todos modal fórmulas de $\phi$ si $\vdash_{K_2}\phi$ (es decir, $\phi\in K_2$), entonces para todo A-modelos de Kripke $M$ y sus mundos $w$, $M,w\Vdash^A \phi$, o en más de notación habitual, simplemente, $\Vdash^A \phi$ (esto significa: $\phi$ es una válida de la fórmula). A partir de ahí, podemos razón counterpositively - si $\triangledown(\top, \top)$ no es válido (en realidad no es válido!), entonces no puede posiblemente pertenecen a $K_2$, de modo que no pertenecen a todos los de la lógica modal; lo que quiere decir claramente nuestra definición de la lógica modal es falso.
Debemos una vez más la razón inductiva en la estructura de $K_2$; esta vez, no vamos a omitir la prueba (al menos, no de la estructura básica!). Deje $\phi\in K_2$ ser un referente de la fórmula. A continuación, nuestra hipótesis inicial, $\vdash_{K_2}\phi$ se divide en 5 casos, el 5 de posibilidades que se nos aparece como la justificación de una fórmula que pertenecen a $K_2$ (y tenemos que demostrar $\Vdash^A \phi$ en todos ellos):
- $\phi$ es una instancia de una proposicional tautología. Satisfacción nuestra relación está de acuerdo completamente con las definiciones usuales para el proposicional conectives; debe ser el caso de que $\phi$ es válido.
- $\phi$ puede ser derivado de modus ponens, es decir, no existe$\psi\in K_2$$\psi\rightarrow\phi\in K_2$. En este caso, la hipótesis inductiva nos dice que $\Vdash^A \psi$$\Vdash^A \psi\rightarrow\phi$. De nuevo, nuestro satifaction relación se comporta como de costumbre con respecto proposicional conectives, así que tenemos $\Vdash^A \phi$.
- $\phi$ es uno de los $K$ axiomas. A continuación, considere la posibilidad de $\phi=\triangledown(\eta,\rho)\rightarrow(\triangledown(\eta\rightarrow \psi,\rho)\rightarrow \triangledown(\psi,\rho))$ (vamos a dejar la otra posibilidad para el lector, ya que es bastante similar a este). Estamos tratando de establecer $\Vdash^A \triangledown(\eta,\rho)\rightarrow(\triangledown(\eta\rightarrow \psi,\rho)\rightarrow \triangledown(\psi,\rho))$. A continuación, considere la posibilidad de Un modelo de Kripke $M=(W,R_a,R_b,V)$, e $w\in W$. Siguiente, supongamos $M,w\Vdash^A \triangledown(\eta,\rho)$$M,w\Vdash^A \triangledown(\eta\rightarrow \psi,\rho)$. Si con esas hipótesis que se prueban $M,w\Vdash^A \triangledown(\psi,\rho)$, a continuación, nos han demostrado lo que quería. Ahora, hacer observar que $\rho$ debe $\bot$, por que si no lo eran, entonces, tendríamos $M,w\Vdash^A \triangledown(\eta\rightarrow \psi,\rho)$ y tanto subformulas sería diferente de $\bot$, una situación definida como imposible. También tenga en cuenta que, desde el $\rho=\bot$$\eta\neq\bot$, porque si no tendríamos una situación imposible derivadas de$M,w\Vdash^A \triangledown(\eta,\rho)$$\eta=\rho=\bot$. A continuación, considere la posibilidad de una $v$ tal que $R_bwv$. Por nuestra hipótesis y observaciones, hemos $M,w\Vdash^A \triangledown(\eta,\bot)$$M,w\Vdash^A \triangledown(\eta\rightarrow \psi,\bot)$,$\eta\neq\bot$. Entonces, por definición de la satisfacción de la relación, debe ser el caso que $M,v\Vdash^A \eta$, e $M,v\Vdash^A \eta\rightarrow\psi$. Como satisfacción nuestra relación es proporcionalmente sonido, tenemos $M,v\Vdash^A \psi$, y ya hemos hecho ninguna estipulación sobre $v$ otros de $R_bwv$, llegamos a la conclusión de que $M,w\Vdash^A \triangledown(\psi,\bot)$, que, desde el $\rho=\bot$, es lo que hemos querido cerrar.
- $\phi$ es uno de los dualidad axiomas. Esto es trivial, ya que $\triangle$ se define en términos de $\triangledown$ exactamente como el postulado por el axioma.
- $\phi$ se obtuvo a partir de una aplicación de una generalización de la regla. Vamos a manejar uno de ellos, de nuevo, dejando el segundo para el lector. Así que tenemos $\phi=\triangledown(\psi,\bot)$, e $\psi \in K_2$. Esta vez, nuestra hipótesis inductiva es, simplemente,$\Vdash^A \psi$. Pero entonces tenemos que, para todo el mundo en todo Un modelo de Kripke, $\psi$ está satisfecho; en particular, se tiene que, en cualquier Un modelo de Kripke $M=(W,R_a,R_b,V)$, para cualquier par de mundos $w,v$ tal que $R_bwv$, $M,v\Vdash^A \psi$, y por la definición de $\Vdash^A$, $M,w\Vdash^A \triangledown(\psi,\bot)$, o simplemente, $M,v\Vdash^A \phi$. Como fue demostrado que para cualquier modelo y en el mundo, llegamos $\Vdash^A \phi$.
Por lo tanto, $K_2$ es correcta con respecto a $\Vdash^A$, y como hemos razonado antes, ahora sabemos que el $\triangledown(\top,\top)\notin K_2$, lo que demuestra que $\triangledown(\top,\top)$ no pertenecen realmente a todos los de la lógica modal, como se define en esta pregunta (y por el libro de texto). Desde $\triangledown(\top,\top)$ es de hecho una validez en la semántica usual, la definición de la lógica modal es incompleta, en el buen sentido de la palabra.
(Como nota final, es más bien trivial para solucionar esta definición. Una manera sencilla de ir en es es mediante la sustitución de la $\bot$ en la generalización de la regla con fórmulas arbitrarias $\psi_1,...,\psi_n$, para cada una de las $\bot$ en el operador modal, aunque no estoy seguro de si este es el mejor. También, otro de desarrollo que podría ser la búsqueda de una realidad completa de la semántica de esta definición defectuosa de la lógica modal (o de demostrar que no puede haber uno!); si alguien tiene un link para que yo estaría agradecido.)
