demostrar que $A=I$
He intentado $A=I+p^kB$ donde no todas las entradas de $B$ es múltiplo de $p$ .
entonces $(I+p^kB)^n=I+np^kB+{n(n-1)\over2}p^{2k}B^2+...+p^{nk}B^n $ ¿pero cómo debo proceder?
gracias de antemano
Sustitución de $A$ por $A^d$ para un divisor propio máximo $d$ de $n$ basta con demostrar la afirmación en el caso $n$ es un número primo.
Demostremos que $n\neq p$ . Por contradicción. Supongamos que $n=p$ . Escribe $A=I+p^kB$ con $B\not\equiv0\pmod p$ . Entonces $$ I=A^p=(I+p^kB)^p=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}p^{ik}B^i $$ que queremos reducir modulo $p^{k+2}$ . Obsérvese que los coeficientes binomiales $\binom{p}{i}$ son divisibles por $p$ para $i=1,\ldots,p-1$ . Por lo tanto, $$ p^{k+2}|\binom{p}{i}p^{ik} $$ para $i=2,\ldots,p$ desde $k\geq1$ y $p\geq3$ . De ello se desprende que $$ I\equiv I+p^{k+1}B\pmod{p^{k+2}}, $$ de lo que se deduce que $B\equiv0\pmod p$ . Contradicción.
Por lo tanto, tenemos $n\neq p$ . Desde $A^n=I$ , uno tiene $(A-I)(A^{n-1}+\cdots+I)=0$ . Desde $A\equiv I\pmod p$ , uno tiene $A^{n-1}+\cdots+I\equiv nI\bmod p$ es invertible como matriz con coeficientes en $\mathbf F_p$ . De ello se desprende que $A^{n-1}+\cdots+I$ tiene un determinante no nulo en $\mathbf Z$ . Por lo tanto, $A-I=0$ Es decir $A=I$ .
Demostraremos que $np^kB+\dots +p^{nk}B^n=0$ implica que $n=0$ . Para ello, supongamos que $n=p^lm$ , donde $(m, p)=1$ . Entonces tenemos $mB+\dots +p^{nk-l-k}B^n=0$ . Queremos demostrar que debemos tener todos los coeficientes que no sean $m$ es un $p$ -divisible entero, y luego trabajar mod $p$ obtenemos una contradicción. Para ello, debemos demostrar que $\binom{n}{j}p^{j-l-2}$ es un número entero para $j>1$ . Estamos estudiando los coeficientes de $(1+px)^{p^lm}=((1+px)^{p^l})^{m}$ y una fácil argumentación muestra que podemos reducir a $m=1$ . Pero dejar que $v_p(n)$ sea la máxima potencia de $p$ dividiendo $n$ tenemos $v_p(\binom{p^l}{j})=l-v_p(j)\ge l-j+2$ ya que $p>2$ y $j>1$ . Se trata de una aplicación de Teorema de Kummer . Así, todos los coeficientes de la ecuación original desaparecen mod $p^{l+1}$ excepto el primero, y hemos terminado.
Quieres decir $p^{nk-l-k}B^n$ por $p^{nk-lk-k}B^n$ ? ¿Y puede explicar por favor dónde $\binom{n}{j}p^{j-l-2}$ vienen de
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Sólo es una observación, pero si tomas tu ecuación y la reduces mod $p^{2k}$ , se entiende que $n$ también debe ser un múltiplo de $p^k$ . No estoy del todo seguro de cómo usar esto.
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Una posible forma de utilizar la observación es el siguiente resultado. La mayor potencia de un primo $p$ que divide el coeficiente binomial $\binom{m+n}{m}$ es igual al número de "cargas" que se producen cuando los enteros $m$ y $n$ se añaden en $p$ -notación de tipo "amarillo". Si puedes encontrar la menor potencia de $p$ en cualquiera de los términos de tu suma, sabrías que varios términos tienen esa misma potencia. Sin embargo, esto parece algo complicado, y me gustaría creer que hay una forma mejor.
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La hipótesis $p\geq 3$ es efectivamente necesario, ya que para $p=2$ tenemos un contraejemplo $A=\begin{bmatrix}3&2\\-4&-3\end{bmatrix}$ .