¿Alguien puede ayudarme con este límite?
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y}$$
Tengo problemas para demostrar que este límite realmente va a $0$
gracias
Dejemos que $y=(x^3-x^6)^2-x^2$ . $\,$ Entonces \begin{align*} \frac{x^3+y^3}{x^2+y} &= \frac{x^3+(x^3-x^6)^6 - x^6 + 3x^4(x^3-x^6)^2 - 3 x^2 (x^3-x^6)^4}{(x^3-x^6)^2}\\ &= \frac{1}{x^3-x^6} + (x^3-x^6)^4+3x^4-3x^2(x^3-x^6)^2\\ &\rightarrow \infty. \end{align*} Eso es, \begin{align*} \lim_{(x,y)\rightarrow (0, 0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y} \end{align*} no existe.
Si $x>0$ el límite pasa a $-\infty$ pero si $x<0$ el límite pasa a $\infty$ por lo que el límite de 2 lados no existe
Sugerencia: utilice $x=r\cos\Theta$ y $y=r\sin\Theta$ verás $\lim_{r\to 0}\frac{(r\cos\Theta)^3+(r\sin\Theta)^3}{(r\cos\Theta)^2+(r\sin\Theta)}=\lim_{\to 0}\frac{r^3((\cos\Theta)^3+(\sin\Theta)^3)}{r(r\cos^2\Theta+\sin\Theta)}=\lim_{\to 0}\frac{r^2((\cos\Theta)^3+(\sin\Theta)^3)}{(r\cos^2\Theta+\sin\Theta)}$ depende de $\Theta$ por lo que el límite no existe
¿haces esa sustitución sólo para que la potencia del numerador sea mayor que la del denominador, y luego pruebas que el límite es 0?
@RaziehNoori, ¿Cómo demuestra la existencia del límite? En realidad lo que has hecho es encontrar un límite a lo largo de una línea( por el origen y en un ángulo $\theta$ del eje x +ve).
$$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y}$$ Método 1: Uso de la prueba de los dos caminos
A lo largo del camino de $y=0$ tenemos $$\lim\limits_{(x,0)\to (0,0)} \frac{x^3 + 0^3}{x^2 + 0}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} x=0$$ A lo largo del camino de $y=p(x)-x^2$ , donde $p(x)$ es un polinomio que pasa por el origen, tenemos $$\lim\limits_{(x,p(x)-x^2)\to (0,0)} \frac{x^3 + (p(x)-x^2)^3}{x^2 + p(x)-x^2}$$ $$=\lim\limits_{x\to 0} \frac{x^3 -x^6+ 3x^4p(x)-3x^2p(x)^2+p(x)^3}{p(x)}$$ $$=\lim\limits_{x\to 0} \left[\frac{x^3 -x^6}{p(x)}+ 3x^4-3x^2p(x)+p(x)^2\right]$$ Dejemos que $p(x)=x^3-x^6$ entonces $$\lim\limits_{x\to 0} \left[1+ 3x^4-3x^2(x^3-x^6)+(x^3-x^6)^2\right]=1$$ Dado que tenemos diferentes valores a lo largo de diferentes caminos, podemos concluir que $$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y}=\mbox{non existent}$$ Método 2: Uso de coordenadas polares
$$\lim\limits_{r\to 0^+} \frac{r^3\cos^3\phi + r^3\sin^3\phi}{r^2\cos^2\phi + r\sin\phi}$$ $$=\lim\limits_{r\to 0^+} r^2\left(\frac{\cos^3\phi + \sin^3\phi}{r\cos^2\phi + \sin\phi}\right)$$ Ahora vamos a intentar encontrar límites que sean independiente de $\phi$ . Desde $$\left|\cos^3\phi + \sin^3\phi\right|\leq 1$$ Tenemos $$r^2\left|\frac{\cos^3\phi + \sin^3\phi}{r\cos^2\phi + \sin\phi}\right|\leq \frac{r^2}{\left|r\cos^2\phi + \sin\phi\right|}$$ Notez que $\phi$ es una variable y no podemos tratarla como una constante. Como el lado derecho depende de $\phi$ entonces podemos concluir que $$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y}=\mbox{non existent}$$
@k170, de nada, pero por favor ayúdame a saber: ¿podemos aplicar el teorema del sándwich en coordenadas polares?
@kilimanjaro, sí podemos utilizar el teorema del estrujamiento, sin embargo, hay que tener cuidado al evaluar los límites de la frontera. En otras palabras, debemos encontrar una manera de eliminar la dependencia de $\phi$ . En este caso, no podemos, por lo que el límite no existe.
Poner coordenadas polares $x=r\sin \theta,y=r\cos \theta$ $$\lim_{r\to 0} \frac{r^3\sin^3\theta+r^3\cos^3\theta}{r^2\sin^2 \theta + r\cos \theta}=\lim_{r\to 0}\frac{r(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin^2\theta+\frac{\cos \theta}{r}}$$ Ahora bien, si $\cos \theta \not\to 0$ entonces $\frac{|\cos \theta|}{|r|}\to \infty$ por lo que el límite es $0$ si $\cos\theta \to 0$ entonces tenemos que $|\sin \theta|\to 1$ y como el denominador tiende a $1$ y el numerador tiende a $0$ de nuevo el límite es $0$ por lo que el límite es $0$ independiente de $\theta$
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