Qué es... ¿Una historia parsimoniosa?

Question

La interpretación histórica de los matemáticos implica un reconocimiento del hecho de que la mayoría de ellos consideraban la continuidad como no se hizo de puntos. Más bien se ve puntos como la marcación de ubicaciones en un continuo toma más o menos como una noción primitiva. Moderno fundamental de las teorías a partir de alrededor de 1870 se basa en un continuo hacerse de puntos y por lo tanto no puede servir de base para interpretar el pensamiento de los primeros matemáticos tan lejos como las fundaciones de que se trate.

Lo que uno puede, sin embargo, tratan de interpretar son las técnicas y procedimientos (en lugar de fundaciones) de los autores anteriores, utilizando las técnicas y procedimientos disponibles en los modernos marcos. En el caso de análisis, el moderno marcos disponibles son los desarrollados por Weierstrass y sus seguidores alrededor de 1870, y se basa en una Arquímedes continuo, así como, más recientemente, los desarrollados por Robinson y sus seguidores, y se basa en un continuo que contiene infinitesimals, y otros frameworks tales como el desarrollado por Lawvere, Kock, y otros.

Por lo que estaba un poco desconcertado por el siguiente comentario por parte de un historiador expresado aquí:

Recientemente ha habido intentos de argumentar que Leibniz, Euler, e incluso de Cauchy podría haber estado pensando en alguna versión informal de riguroso moderno no-estándar de análisis, en el que infinito y lo infinitesimal cantidades no existen. Sin embargo, una interpretación histórica como el esbozado, que tiene el objetivo de comprender Leibniz en sus propios términos, y que le confiere tanto conocimiento y consistencia, tiene mucho que recomendar sobre una interpretación que sólo ha sido posible a defender en las últimas décadas. Es parsimonioso y no requiere de expertos de la defensa para que los conceptos modernos parecen esenciales y, por tanto, de crear más problemas que los que resuelve (por ejemplo, con la serie infinita). Lo mismo puede decirse de la no-estándar de las lecturas de Euler; etc.

Pregunta 1. Es este historiador de la elección de un marco fundacional sobre otro en la interpretación de las técnicas y procedimientos de la histórica de los autores?

Pregunta 2. ¿Qué es exactamente un Parsimonioso de la Historia?

Pregunta 3. Gris y Bottazzini, según informes, hacer un lugar poético propuesta en los siguientes términos: "La mejor política es leer en un espíritu de diálogo con los autores anteriores." La propuesta de una conversación con, digamos, el de Euler, suena interesante. Sólo estoy preguntando acerca de Gris comentario de aquí que "de Euler intentos por explicar las bases de cálculo en términos de diferenciales, que son y no son cero, son terriblemente débil." No es una apertura de la línea en una conversación que probablemente será una conversación-tapón?

Pregunta 4. En relación con el trabajo de Laugwitz mencionado por uno de los socorristas, uno podría preguntar por qué el Gris no cita explícitamente el trabajo de alguno de los autores que él desea explícitamente a criticar para el uso de las modernas infinitesimals? Laugwitz del artículo (Laugwitz, Detlef. Valores definidos de infinitos sumandos: aspectos de los fundamentos del análisis infinitesimal alrededor de 1820. Arch. Hist. Exacto De La Lesión. 39 (1989), no. 3, 195-245) apareció en Archivo para la Historia de las Ciencias Exactas, claramente una buena reputación diario desde que Jeremy Gray pasa a ser su Editor-en-Jefe. Del mismo modo, el artículo McKinzie, Mark; Tuckey, Curtis. Oculta los lemas de Euler de la suma de los recíprocos de los cuadrados. Arch. Hist. Exacto De La Lesión. 51 (1997), no. 1, 29-57 apareció en la misma revista y explotados de Robinson marco para aclarar algunos de Euler procedimientos; es, también, está siendo obstruido por el Editor-en-Jefe.

Answer 1

Nota: [2016-06-01] por Favor, tenga en cuenta que el OP ha cambiado el título, que fue:

¿Cómo puede un historiador moderno interpretar histórico matemáticos?

y él ha agregado la pregunta 2. Esta respuesta se aborda la pregunta original que es en el momento de la pregunta 1.

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A mí me parece Jeremy Gray, el autor de la referencia del libro, poner algunas palabras de advertencia de que la interpretación de la obra de los maestros antiguos en términos de uno o dos conceptos modernos sólo es demasiado a menudo superficial y no es apropiado para comprender lo que realmente estaba pasando.

Si nos fijamos en la última frase de la OPs citó el párrafo podemos ver que el desarrollo histórico es más que eso.

Desde la sección 1.5: Pero es decir, que los fundamentos del cálculo fueron por lo menos dos siglos, el sujeto de cambio, parcial, y en gran medida coherente especulaciones de que la forma de la apertura de los capítulos de la historia de análisis.

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Para ver mejor la posición del autor que me gusta citar de Armonía Oculta-Geométrico Fantasías: el Aumento de La Compleja Teoría de la Función escrito por Jeremy Gray y Umberto Bottazzini.

De la Sección Introductoria: En cualquier historia de las ideas, el historiador pretende mostrar cómo las cosas que una vez se pensó en una manera en que se hizo pensado en otro. Como función compleja teoría que desarrolló muchas ideas se introdujo por primera vez ingenuamente, y sólo poco a poco refinado.

Definiciones faltaba, y cuando eran a veces inadquate por estándares posteriores. Además de la precisión, cuando se hizo disponible, podría ser engañoso: los matemáticos en ocasión de ofrecer una definición clara con muy pocas ideas acerca de sus implicaciones más profundas - como el ejemplo de la continuidad en el análisis real de la muestra.

A veces estos problemas pueden ser confrontado directamente, como con la definición de una analítica de la función, pero más a menudo de lo que uno tiene que andar un largo período de cierta vaguedad.

Veamos algunas cuestiones específicas: Cauchy, por ejemplo, a menudo se utiliza en las frases continua y finita y continua muy vagamente a significar algo así como el complejo de la analítica. Problemas similares occcur con contar las raíces de acuerdo a sus multiplicidades, con $\lim$ frente al $\limsup$, y los puntos del infinito y de los polos. ...

Más adelante los autores de continuar con su enfoque preferido para la historia de las matemáticas y los matemáticos:

Por tanto, no es realmente satisfactorio para representar el originial ideas de los matemáticos cuando ellos son como este. No decir nada es producir confusión. Silenciosamente a ponerlos en línea con los estándares modernos, no sólo presenta anacronismos, pero también trae histórico de falsedades y anula el propósito de la historia.

Para corregirlos en más de la mayoría de los casos extraordinarios es encumbeer auténticos despropósitos, y así disminuir el trabajo de grandes matemáticos.

La mejor política es leer en un espíritu de diálogo con los autores anteriores, consciente, como podría ser, de las limitaciones e implicaciones falsas de sus papeles y libros, y esperando a ver cuando, en todo caso, en el período, la mejor luz era brillaba sobre el tema. De esta manera uno puede lidiar con más de la complejidad, y el drama, en el pasado.

Answer 2

Comentario

¿Qué acerca de Detlef Laugwitz comentarios en su: Infinitamente pequeñas cantidades de Cauchy en los libros de texto, Hist.De matemáticas. 14(1987), no.3, 258-274 [citado en otra parte SE]:

Como un historiador de las matemáticas, uno no puede sino tomar de un autor propias intenciones y las razones en serio: Infinitamente pequeñas cantidades son fundamentales en Cauchy del análisis, son compatibles con rigor, y que producen la simplicidad.

[Cauchy del teoremas sobre continuidad y convergencia] son incorrectos cuando se interpreta en el marco conceptual común de análisis (que, obviamente, no puede haber sido de Cauchy del marco). Ambos teoremas convertido en corregirlo tan pronto como se añade supuestos de homogeneidad (que, al menos en la forma por ahora es común, nunca fueron utilizados por Cauchy). Los teoremas son correctos en cualquiera de las teorías modernas de infinitesimals (que, además de ser un desconocido a Cauchy, falta la "simplicidad de infinitesimals," al menos en la versión de Robinson).

Las tres actitudes mencionadas (de Cauchy errado; Cauchy olvidó esencial supuestos; de Cauchy era correcto, pero sólo cuando se pone en contra de un moderno fondo) no son satisfactorios desde el punto de vista de un historiador. [...] La única satisfactoria actitud debe ser: Intentar entender de Cauchy de teoremas y sus pruebas a partir de sus propios conceptos.

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Nota: de acuerdo a mi entendimiento, de J. Gray punto de vista, una "lógica de la historia" es un enfoque para entender el pasado de teorías y de conceptos "en su entorno original", evitando la sobrecarga de ellos con los últimos acontecimientos.

Answer 3

Esto es en respuesta a una reclamación por Gray y Bottazzini que supuestamente "Definiciones que falta". Entonces, ¿qué? Es un básico (meta), un problema matemático:

• se le da una prueba de que no contiene definiciones (o, tal vez, se refiere a excesivamente estrechas definiciones)
• recuperar las definiciones.

Esto es lo que Bourbaki estaba haciendo cuando él se estaba recuperando real definiciones de la repetitivo y aburrido pruebas de los principios de análisis funcional.

Por qué este enfoque puede ser utilizado como una herramienta para el análisis de la historia de las matemáticas? Los matemáticos del pasado fueron el uso informal de las definiciones y supuestos no declarados. ¿Por qué son matemáticos de investigación de hoy en día están prohibidos de hacer algún tipo de ingeniería inversa y la recuperación de sus antiguos colegas definiciones y supuestos?

www.borovik.net/selecta

Answer 4

Gray "parsimonioso" el argumento es equivalente a la de Occam la espada, y si se aplica en el contexto de un enfoque adecuado en los procedimientos en realidad habría de producir el resultado contrario de la Gris busca.

Considerar, por ejemplo, de Cauchy de la definición de continuidad, es decir, un cambio infinitesimal $\alpha$ en la variable $x$ siempre produce un cambio infinitesimal $f(x+\alpha)-f(x)$ en la función. En un moderno infinitesimal marco de una copia de esta a lo largo de casi pie de la letra para obtener una definición precisa de la continuidad.

Si uno quiere trabajar en un tradicional Weierstrassian marco, uno debe interpretar de Cauchy de la definición como "realmente", diciendo que, por ejemplo, por cada epsilon hay un delta tal que para cada a $x$, etc.

Tales lógicas de la complejidad que involucra la alternancia de cuantificadores seguramente caerá por la espada. Alternativamente, uno podría tratar de interpretar de Cauchy por medio de secuencias, que no es mucho mejor Occamwise porque Cauchy dice explícitamente en la definición de un infinitesimal de que una secuencia se convierte en un infinitesimal (en lugar de un infinitesimal de ser una secuencia). Así que al parecer Gray debería estar diciendo lo siguiente:

Desde Boyer (al menos) ha habido intentos de argumentar que Leibniz, Euler, e incluso de Cauchy podría haber estado pensando en alguna versión informal de riguroso moderno Weierstrassian análisis. Sin embargo, una interpretación histórica como el esbozado, que tiene el objetivo de comprender Leibniz en sus propios términos, y que le confiere tanto conocimiento y consistencia, tiene mucho que recomendar sobre una interpretación que sólo ha sido posible defender el puesto de Weierstrass llegó. Es parsimonioso y no requiere de expertos de la defensa para que las modernas Weierstrassian conceptos parecen esenciales y, por tanto, de crear más problemas que los que resuelve.