El módulo simple es isomorfo a $R/M$ donde $M$ es un ideal máximo

Question

En el libro de texto de Álgebra de Michael Artin página 484 Capítulo 12 Ejercicio 1.6:

Un módulo se llama simple si no es el módulo cero y si no tiene ningún submódulo propio.
(a) Demuestre que cualquier módulo simple es isomorfo a R/M, donde M es un ideal maximal.

Mis preguntas son:

1. Es $R/M$ un módulo de izquierda sobre $R$ ? o sobre sí mismo $R/M$ ?
2. Cuando definimos un módulo $N$ definimos un mapa $R\times N\to N$ donde $R$ es un anillo y $N$ es un grupo abeliano. Ahora dejemos que el anillo $R$ sea $M$ como se indica en la pregunta, donde $M$ es un ideal máximo de $R$ . Así que el mapa se convierte en $M\times N\to N$ . Que yo sepa, no hay una noción equivalente de ideal en módulo. La razón por la que digo esto es porque a partir de la definición de módulo cociente $V/W$ , $W$ es sólo un submódulo de $V$ no es un submódulo "ideal" de $V$ . ¿Es correcto mi razonamiento?
3. Si mi razonamiento en 2. arriba es erróneo, entonces ¿cómo podemos interpretar un ideal maximal en un lenguaje de módulo? ¿Existe una definición de ideal maximal en módulo distinta a la definición de ideal maximal en anillo?
4. Para comprobar la cuestión, he consultado otras fuentes en Internet. Hay una prueba que dice "Cualquier submódulo de $R/M$ es un ideal, ya que sería un grupo aditivo cerrado bajo la multiplicación por elementos de $R$ y por lo tanto $R/M$ ." Como aún no tengo clara la definición de ideal en módulo, me confunde el significado de la afirmación anterior, sobre todo qué quiere decir con "cerrado bajo multiplicación por elementos de R y por tanto $R/M$ "?

Muchas gracias por cualquier ayuda. Lo aprecio mucho.

Answer 1

Un derecho $R$ es, como has dicho, un grupo abeliano $N$ y el mapa de $N\times R\to N$ que satisface propiedades especiales como la distributividad, etc. En otras palabras, $nr$ es otro elemento de $N$ por cada $n\in N$ y $r\in R$ .

Si $N'$ es un subgrupo aditivo de $N$ decimos que es un submódulo si $n'r\in N'$ por cada $n'\in N'$ y $r\in R$ . En otras palabras, parece que $N'R\subseteq N'$ (¡que no tenía por qué ocurrir!).

Ahora $R$ puede considerarse como un módulo derecho sobre sí mismo, ya que la multiplicación del anillo $R\times R\to R$ satisface todos los axiomas necesarios para que $R$ en un módulo derecho. Como ya hemos definido lo que es un submódulo, podemos preguntarnos cuáles son los submódulos del módulo derecho $R$ son. Son un subgrupo aditivo $I$ de $R$ es un submódulo si $IR\subseteq I$ .

Verás que se parece a la definición de un ideal derecho: ¡y eso es exactamente lo que es! El término "ideal derecho" es sólo otro término para un submódulo del módulo derecho $R$ . De la misma manera, $R$ puede considerarse como un módulo de izquierda sobre sí mismo, y se puede preguntar por sus submódulos de izquierda (=ideales de izquierda). Nadie dice "ideales en un módulo" porque los ideales se reservan como término para los submódulos de $R$ .

Si ya sabes que para cualquier submódulo $N'$ de $N$ se puede formar el módulo de cociente $N/N'$ entonces no será una sorpresa que si $M$ es un ideal derecho (¡submódulo derecho!) de $R$ , entonces se puede formar el módulo de cociente $R/M$ .

La demostración del hecho del título es muy fácil si se conocen los teoremas de isomorfismo para módulos. Si $S$ es un derecho $R$ (distinto de cero, por supuesto), elija un módulo distinto de cero $s\in S$ y hacer un mapa de $R\to S$ por $r\mapsto sr$ . Llama a este mapa $\phi$ . Este es claramente un mapa no nulo para $S$ . Como la imagen es un submódulo de $S$ y $S$ es simple, debe ser todo $S$ . Por el teorema del isomorfismo, $R/\ker(\phi)\cong Im(\phi)=S$ . Por la correspondencia de submódulos, la ausencia de submódulos de $S$ corresponde a una ausencia de submódulos entre $R$ y $\ker(\phi)$ y así $\ker(\phi)$ es un ideal máximo derecho de $R$ .

Answer 2

Por favor, perdonen si es un doble post, soy realmente un principiante en esta Teoría del Módulo. Así que por favor mencionar si hay algún fallo en el argumento.

Lema: Sea $f:V\to W$ sea un homomorfismo de módulo, donde $V,W$ son ambos $R$ módulos. Dejemos que $V',W'$ sean respectivamente submódulos de $V,W$ . Entonces la imagen de $V'$ y la imagen previa de $W'$ son también submódulos de su espacio repectivo.

Prueba: Sólo estoy mostrando la parte de la imagen. Tenemos que mostrar $f(V')$ es un submódulo de $W$ . Su subgrupo claramente aditivo de $W$ desde $f$ es un homomorfismo y $V'$ era subgrupo aditivo de $V$ . Ahora toma $f(v')\in f(V')$ . Para todos los $r\in R, rf(v')=f(rv')\in f(V')$ desde $rv'\in V'$ . Así que, $f(V')$ es un submódulo de $W$ .

Ahora, el problema original. $S$ ser un simple $R$ módulo. Así, para cualquier $s\in S, Rs$ sea un submódulo de $S$ como la condición en la que se encuentra. $S$ . $S$ cualquier elemento de $S$ puede escribirse como $sr$ para un fijo $s\in S$ . Esto da una suryección $R\to S$ dado por $\phi_{s}:r\to sr$ que es un homomorfismo. Entonces existe un ideal $I$ de $R$ tal $S$ es isomorfo a $R/I$ . Así que si $I$ es máxima, entonces se hace, si no existe un ideal propio $J$ de $R$ que contiene $I$ . Pero entonces $J/I$ es el ideal propio de $R/I$ y por lo tanto submódulo de la misma también. Ahora sabemos que la imagen de $R/I$ es un submódulo propio de $S$ ya que existe un isomorfismo $R/I \to S$ , contradicción, por lo que $I$ es el ideal máximo