$x+y=1$, Mostrar que $x^4+y^4\ge \frac{1}{8}$

Question

Como en el título. Que $x,y$ ser dos números reales tales que $x+y=1$. Demostrar que $x^4+y^4\ge \frac{1}{8}$.

¿Cualquier sugerencias? Básicamente, el único método que conozco es enchufar $y=1-x$ de la desigualdad e investigar la extrema de la función, pero no creo que es el mejor método. Estoy buscando una manera más inteligente demostrar que la desigualdad.

Answer 1

Es equivalente a indicar que $(1/2+\epsilon)^4+(1/2-\epsilon)^4\geq 1/8$. Pero esto simplifica a $\tfrac{1}{8}(16\epsilon^4+12\epsilon^2+1)$, que obviamente se reduce al mínimo en $\epsilon=0$, que $\tfrac{1}{8}$.

Edit: Esto es motivado por adivinar el mínimo, es decir $x=y=1/2$ y luego symmetrizing. La simetría permite una buena expansión utilizando el teorema del binomio.

Answer 2

También se trabaja un enfoque de Cauchy-Schwarz:\begin{align*} 1 = x + y \le \sqrt{(x^2+y^2)(1^2+1^2)} \implies x^2 + y^2 \ge \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \le x^2 + y^2 \le \sqrt{(x^4 + y^4)(1^2 + 1^2)} \implies x^4 + y^4 \ge \frac{1}{8} \end{align*}

Answer 3

$x^4$ $y^4$ son funciones convexas de $x$ y $y$, por lo que su suma también es convexa. La restricción de este a la línea de $x+y=1$ otra vez es convexa. Por simetría, el mínimo debe producirse en el punto donde $x=y$.

Answer 4

Si $a,b\in \mathbb{R}$, entonces $(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$ $2ab\leq a^2+b^2$.

Aplicando esto con $x$ y $y$ lo obtenemos %#% $ $$ 1=(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)$ #% y aplicando la desigualdad otra vez con $x^2+y^2\geq \frac{1}{2}$ y $x^2$ obtenemos $y^2$ $, que es el resultado deseado.

Answer 5

Si usted está buscando una explicación más geométrica, considere la familia de curvas $$x^4+y^4=k$ $

Se trata de una familia de curvas en forma cuadradas redondeadas concéntricas con simetría de orden 4 centrado en el origen. La línea $y=x$ es una línea de simetría. Tenemos que encontrar el valor de $k$ para que una curva es tangente a la línea de $x+y=1$.

Por simetría $x=y=\frac 12$ y $$k=\left(\frac 12\right)^2+\left(\frac 12\right)^2=\frac 18$ $