¿Cómo calcular $\int_0^{\infty} x^{t-1} e^{-x}\ln(x)\,dx$?

Question

He golpeado la siguiente integral (en proceso de tratar de obtener una corrección de la muestra finita para la máxima verosimilitud de la guarnición de la distribución de valor extremo generalizado...):

$$\int_0^{\infty} x^{t-1} e^{-x}\ln(x)\,dx$$

Es una especie de cruce entre una definición de la función de $\Gamma$ y un integral de Euler-Mascheroni. ¡Ayuda sería muy apreciada!

Gracias de antemano.

Answer 1

Por definición, sabemos que \Gamma(t) $$ = \int_0^\infty x ^ {t-1} e ^ {-x} \,dx $$ entonces nuestro problema es simplemente el primer derivado de gamma función w.r.t. variable $t$ $$ \int_0^\infty x ^ {t-1} e ^ {-x} \ln x\, dx = \frac {d} {dt} \Gamma(t)=\Gamma(t)\cdot\psi(t) $$ $\psi(t)$ Dónde está la función digamma.

Answer 2

Comentario de Daniel Fischer, $$\int_{0}^{+\infty}x^{t-1}e^{-x}\log x\,dx = \frac{d}{dt}\int_{0}^{+\infty}x^{t-1}e^{-x}\,dx = \frac{d}{dt}\Gamma(t) = \psi(t)\cdot\Gamma(t) $ $ $\psi(t)$ Dónde está la función digammaen expansión: $$\psi(t)=-\gamma+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{t-1}{n(n+t-1)}.$ $