Teniendo en cuenta espacios topológicos $X$ y $Y$, donde $Y$ está conectado, que $p \colon X \to Y$ ser un mapa del cociente. ¿Si, por cada punto $y \in Y$, el conjunto de $p^{-1}(\{y\})$ está conectado, entonces cómo probar que $X$ está conectado también?
Por el mapa $p$ ser un mapa del cociente significa lo siguiente:
El mapa $p$ es sobreyectiva, y para cualquier subconjunto $V$ $Y$, el conjunto de $V$ está abierta en $Y$ si y sólo si está abierto en $p^{-1}(V)$ $X$.
$X$ es una unión de distintos conjuntos conectados, $X_i$ (clases de equivalencia). Si $X$ se desconecta y $U \cup V$ es una separación de $X$ (con $U$, $V$ discontinuas y abierta en $X$), entonces hay dos casos posibles:
Caso 1: Una de las clases de equivalencia, decir $X_i$, se reparte entre los $U$$V$:
Pero entonces, $X_i \cap U$ $X_i \cap V$ son disjuntas y abierta en $X_i$, por lo que son una separación de $X_i$, contradiciendo la suposición de que todos los $X_i$'s están conectados.
Caso 2: Cada clase de equivalencia es totalmente contenida en cualquiera de las $U$ o $V$:
Pero entonces, $p(U)$ $p(V)$ son disjuntas. Ya que ellos también están abiertas en $Y$, son de una separación de $Y$, contradiciendo la suposición de que $Y$ está conectado.
En suma, si $X$ se desconecta, a continuación, en una de las clases de equivalencia está desconectado o el cociente espacio está desconectado.
Supongamos $X$ no estaban conectados. Deje $X = U \cup V$, donde ambos conjuntos están abiertos y cerrados) en $X$, disjuntos y no vacíos. A continuación, $f[U]$ es abierto y cerrado en $Y$ $f$ es un cociente mapa y $U = f^{-1}[f[U]]$: es claro $U$ está contenida en la otra, pero si por lo contrario produciría un error, tendríamos un $p \in V$ $f(p) = f(q)$ algunos $q \in U$. Pero, a continuación, $U,V$ desconecte el conjunto conectado a $f^{-1}[\{f(p)\}]$, que no puede ser. Del mismo modo $V$ es abierto y cerrado. Ambos son no vacíos y que son distintos, ya que de lo contrario otra vez la imagen inversa de un punto en su intersección sería una desconectado de la fibra (el uso de $U$ $V$ nuevo). Así que esto se contradice con la conexión de la $Y$.
Que $f$ sea una función continua de $X$ $[2]=\{1,2\}$ con la topología discreta. El % de fibras $p^{-1}(y)$son sólo las clases de equivalencia bajo el % de relación $x\sim x'\leftrightarrow p(x)=p(x')$. Puesto que están conectados, tenemos $f(x)=f(y)$ cuando $x\sim y$. Por lo tanto, $f$ induce una función continua $\hat f:Y\to[2]$ definidas en $\hat f(p(x))=f(x)$. Puesto que está conectado $Y$, $\hat f$ es constante y es así $f$.
Hemos demostrado que un mapa continuo arbitrario $f:X\to[2]$ es constante. Esto implica que el $X$ está conectado.
Sea $f$ cualquier mapa continuo de $\rm X $ $\{0,1\}$.
Como $f$ es continua, induce una función $\overline{f} : \rm Y \to \{0,1\}$. Compro $\rm Y$ está conectado por lo que esta función debe ser constante, deje decir $\overline{f} = 1$.
Ahora que $x$ ser cualquier elemento de $\rm X$. Se encuentra en el % de fibra $\rm X_{p(x)}$que está conectado por Asunción, $f$ restringido a $\rm X_{p(x)}$ es constante. $\overline{f}(\overline{x}) = 1$ $f(x)$ Debe ser igual al $1$.
Hemos demostrado que $f$ de hecho es constante y por lo tanto, está conectado $\rm X$.
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