¿Hay una manera de mostrar $\langle x,y,z: xz=zx,yz=zy,xy=yxz,x^4=y^4=z^2=1\rangle$ $8$ de la orden?

Question

El grupo cuaternión tiene una presentación particular $$ \langle x, y, z: xz = zx, yz = zy, xy = yxz, x ^ 4 = y ^ 4 = z ^ 2 = 1\rangle $$

Por lo tanto debe tener orden $8$, pero puede deducir que sólo de las relaciones? Las relaciones muestran que cualquier cosa se puede poner en forma de $x^iy^jz^k$ $0\leq i,j\leq 3$ y $0\leq k\leq 1$, por lo que en la mayoría hay $32$ elementos.

¿Cómo se puede eliminar redundancias?

Answer 1

Ya ha demostrado que su grupo $$ P = \langle x,y,z: xz=zx, yz=zy, xy=yxz, x^4=y^4=z^2=1 \rangle $$ ha pedido en la mayoría de los $32$. Para demostrar que tiene exactamente el fin de $32$, es una manera de construir un grupo de $G$ orden $32$ y elementos $X, Y, Z$ que satisfacen las relaciones de $x, y, z$. Por lo $G$ es una imagen homomórfica de $P$, e $P$ ha pedido en menos $32$.

Uno de esos $G$ es el semidirect producto del grupo abelian $$ \langle Y \rangle \times \langle Z \rangle, $$ con $X$ orden $4$ $Z$ orden $4$, por un grupo cíclico $\langle X \rangle$ orden $4$, actuando a través de la automorphism (de orden $2$) $$ Y^X = Y Z, \qquad Z^X = Z. $$

Ahora tenga en cuenta que las relaciones que dio a definir $P$ son ciertamente satisfecho en $Q_{8}$, teniendo $x = i$, $y = j$ y $z = -1$. Pero no definen $Q_{8}$, como acabamos de ver. Para hacer eso tienes que modificar, por ejemplo, como $$ P = \langle x,y,z: xy=yxz, x^2=y^2 = z, z^2=1 \rangle, $$ donde he omitido $xz=zx, yz=zy$, lo que ahora sigue de $x^2=y^2 = z$.

Answer 2

Sugerencia: Tratar de convertir su representación en la siguiente representación:

$Q_{8}= \langle a,b\mid a^4=e,a^2=b^2,aba=b \rangle$

Esta relación muestra que a cada elemento de a $Q_8$ es de la forma:

($a^{s} b^{t}$), $0\leq s\leq 3$,$0\leq t \leq 1$

Claramente, $\left |Q_8 \right | \leq 8$.

A continuación, se consideran un subgrupo de $GL(2,\mathbb{C})$ generado por dos matrices:

$A=\begin{pmatrix} i& 0\\ 0& -i \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}$

Es fácil ver que $A^4=I,A^2=B^2,ABA=B$

De modo que la correspondencia $a\mapsto A,b\mapsto B$ define un surjective homomorphism $Q_8 \to \left \langle A,B\right \rangle$.

Por otro lado, $\left \langle A,B\right \rangle$ $8$ elementos,a saber:

$\left \langle a,B \right \rangle=\left \{\pm \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{pmatrix} ,\pm \begin{pmatrix} i&0 \\ 0& -i \end{pmatrix},\pm \begin{pmatrix} 0& 1\\ -1&0 \end{pmatrix},\pm \begin{pmatrix} 0 &i \\ i& 0 \end{pmatrix}\right \}$

Por eso, $Q_8 \cong\left \langle A,B \right \rangle$ oder $8$