Estoy buscando para encontrar una solución exacta a la dimensión de Hausdorff de un conjunto Julia $J(f)$ para un polinomio $f: z \mapsto z^2 +c$ debido a un arbitrario $c$.
Sé que esta pregunta es conocido por una serie de casos especiales. Por ejemplo, si el $c$ está en la frontera del conjunto de Mandelbrot, que tiene dimensión 2. La dimensión de $c=0$ es obvio ya que también. Hay otros casos se conoce exactamente? Si es así, ¿cómo se encuentra? Me imagino que hay un número de mediciones usando box-counting métodos para aproximar la dimensión de los diversos casos.
También, han habido esfuerzos para calcular la dimensión de un conjunto Julia para cualquier polinomio o función racional $p : \Bbb{C} \to \Bbb{C}$?
Cualquier conocimiento del trabajo que se realiza en esta zona, o un lugar para empezar sería impresionante.
EDIT: buscando en Google la pregunta que llevó a una serie de papeles. Estos son los resultados que he encontrado:
Este papel le da la dimensión de un conjunto de puntos, aunque buscando en google la palabra "biaccesible" sólo trae a colación que el papel y las referencias a la misma.
Esta una muestra de que los conjuntos de Julia para $c$ arbitrariamente cerca de la frontera del conjunto de Mandelbrot tiene dimensiones arbitrariamente cerca de 2.
Esta [pdf] da una serie de resultados:
- La dimensión de $J(f)$ es de menos de 2 si $f$ no tiene no periódica recurrente puntos críticos
- El conjunto de Julia de rational $f$ es hiperbólica $\implies$ La dimensión de Hausdorff como una función de la $c$ es continua
- Algunos otros resultados que parecen requerir otro papel
La introducción de este trabajo , Dice que para una racional $f$ aún tenemos que encontrar un conjunto Julia positivos área de y no contiene la totalidad de la esfera de Riemann. (No $z \mapsto z^2$ proporcione un contraejemplo? No estoy seguro de entender este uno) yo también demuestra un resultado sobre el conjunto de Julia de una $\sin $ función.
Un documento de la universidad de Harvard [pdf] da maneras de calcular la dimensión numérica, y demuestra que la dimensión de Hausdorff es continua desde el punto de Feigenbaum (es esta la misma a partir de diagramas de bifurcación?) a 1/4.
Voy a leer a través de más y estos con más cuidado. En el ínterin cualquier guía de ayuda.
