Cómo ' analizar ' problemas en el análisis; $\int_0^{2\pi}\frac{1}{(a+b\cos(\theta))^2}d\theta$ De computación

Question

Si $a, b \in \mathbb{R}$$a > b > 0$, calcular este impío cosa;

$$\int_0^{2\pi}\frac{1}{(a+b\cos(\theta))^2}d\theta$$

Yo realmente no soy un fan de análisis complejo... no puedo visualizar lo que está pasando aquí. Cuando miro las cosas de grupo/número/teoría de grafos veo ideas. Cuando miro esta... todo lo que veo un montón de símbolos.

Por donde empezar con esto? Tal vez alguien con el análisis de fondo puede ofrecer cierta intuición sobre " el análisis de estas cosas para ver mejor lo que pasa..

Porque ahora, estoy perdido mirando este.

Gracias chicos!

Answer 1

Sugerencia: Utilizar la fórmula de Euler para reescribir el integrando en términos de $e^{i \theta}$, luego reescribir la integral como una integral de contorno en el plano complejo (¿qué tipo de forma de no $e^{i \theta}$ parametrizar?).

Como por la intuición...

El $\cos \theta$ trae gratos recuerdos de coordenadas polares (recuerde $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$?), y, a continuación, el $0$ $2 \pi$integral de chispas, de la idea de que en algún lugar, de alguna manera, un círculo es ser parametrizada. La cantidad de $e^{i \theta}$ hace exactamente eso, se parametriza el círculo unidad.

Recuerdo que desde los himnos de los siglos pasados que la fórmula de Euler se puede utilizar para reescribir $\cos \theta$ en términos de $e^{i \theta}$, así que siga las huellas de los antiguos, y tomar ventaja de esto para reescribir el integrando. Se exhorta a las artes oscuras, puedo hacer un cambio de variables que me transporta desde el ámbito de la (real) de la línea para el reino de lo infinito (complejo) avión. (La sustitución de $z = e^{i \theta}$ se ve bien.)

Ahora que estoy en mi elemento, puedo entrar en el problema de usar todos los hechizos que eran, hasta ahora, está prohibido (de Cauchy teorema, el teorema de los residuos, etc.). Por supuesto que tengo mi fiel de emergencia pack listo, como me podría necesitar algunas herramientas extra a lo largo del camino (parcial fracciones).

Answer 2

Sugerencia

Un método es utilizar la Sustitución de Weierstrass: $$\begin{align} \tan\left(\frac t2\right)&=z&\mathrm{d}t&=\frac{2\,\mathrm{d}z}{1+z^2}\\[6pt] \sin(t)&=\frac{2z}{1+z^2}&\cos(t)&=\frac{1-z^2}{1+z^2} \end {Alinee el} $$ aplicar la sustitución: $$\begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}t}{(a+b\cos(t))^2} &=\int_{-\infty}^\infty\frac{\frac{2\,\mathrm{d}z}{1+z^2}}{\left(a+b\frac{1-z^2}{1+z^2}\right)^2}\\[6pt] &=\int_{-\infty}^\infty\frac{2(1+z^2)\,\mathrm{d}z}{((a+b)+(a-b)z^2)^2}\\[6pt] &=\color{#C00000}{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{2\left(1+\frac{a+b}{a-b}\tan^2(u)\right)\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\sec^2(u)\mathrm{d}u}{(a+b)^2\sec^4(u)}}\\[6pt] &=\frac{2}{(a^2-b^2)^{3/2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(a+b-2b\cos^2(u)\right)\,\mathrm{d}u \end {Alinee el} $$ donde nos hemos sustituido $z=\color{#C00000}{\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\;\tan(u)}$. La última integral es muy fácil.