El número de $n$ th primero es $85489307341$. ¿Cómo encontrar $n$?

Question

Decir se le da el $n$th número primero $p_n$, $p_n = 85489307341$, pero no $n$.

Preguntas:

1. ¿Qué es una fórmula rápida, sencilla y aproximada $n$?
2. ¿Añadiendo más términos, esta fórmula es posible más precisa?

Edit: ¿En referencia a la respuesta más abajo, cómo podemos nosotros modificar $n = \pi(x) \approx \frac{x}{\log(x)}$ para hacerla más precisa?

Answer 1

say nth_prime(3543419187)
85489307341

say prime_count(85489307341)
3543419187  # looks right

Tenga en cuenta que el primer conteo en este tamaño son bastante baratos. Alrededor de 19 milisegundos en mi portátil. Eso es aún más 1000x más lento que la más complicada de las aproximaciones a continuación.

La diferencia porcentual de respuesta exacta para diversos métodos que utiliza este n, dada en orden de cercanía a las grandes entradas:

$R(n)$ 2.3 e-7 muy buena aproximación de Riemann de la función R

${\rm li}(n)-{\rm li}(n^{0.5})/2$ 1.7 e-7 también es muy bueno desde trunca R

${\rm li}(n)$ 3.4 e-6 muy bueno

$(\pi_{\rm upper}(n)+\pi_{\rm lower}(n))/2$ 9.5 e-7 sorprendentemente bueno con respecto al promedio de los límites, pero todo depende de la utilización de estrechos límites, y no de mantener lo que aumenta el tamaño de

$n/(\log(n)-1-1/\log(n))$ .00024 no es horrible

$n/(\log(n)-1)$ .0019 meh

$n/\log(n)$ .042 ugh (pero mejor que adivinar al azar los números)

Answer 2

(1), tiene grandes $x$ que es el número de primos menor que o igual a $x$ $\pi(x) \approx \frac{x}{\log(x)}$

Answer 3

Mucho mejor y en el artículo de Wikipedia es %#% $ #%

Answer 4

El uso de una de las aproximaciones para $p_n / n$ en términos de $n$ (de Wikipedia del PNT de entrada, digamos) y invertirlo de forma iterativa. Por ejemplo, empezar con $$ p_n \aprox n \left(\log n + \log\log n - 1 +\frac{\log\log n - 2}{\log n}\right). $$ Inicializar $n_0=p_n$. Y luego iterar: $$ n_{i+1}=\frac{p_n}{\log n_i + \log\log n_i - 1 + \frac{\log\log n_i - 2}{\log n_i}}. $$ Esto converge muy bien si $p_n$ es grande... en tu caso me parece $n\approx 3.5431\times 10^9$, la cual difiere de la respuesta exacta de $n=3543419187$ sobre $0.01\%$.