¿Por qué es Artinian?

Question

La siguiente es una parte de la sección titulada Samuel funciones en el libro Conmutativa Anillo de la Teoría de Hideyuki Matsumura:

Deje $A$ ser un Noetherian semilocal anillo, y $\mathfrak{m}$ el Jacobson radical de $A$. Si $I$ es un ideal de a $A$ tal que para algunos $\nu >0$, tenemos $\mathfrak{m}^\nu \subset I \subset \mathfrak{m}$, a continuación, el anillo de $A/I$ es Artinian.

No puedo entender por qué $A/I$ es Artinian. Si $A$ es un anillo local, que es el caso en Introducción al Álgebra Conmutativa por Atiyah y MacDonald, $\mathfrak{m}$ se convierte en el máximo ideal, y por lo $I$ hace $\mathfrak{m}$-primaria ideal. En este caso, puedo entender por qué es Artinian, desde la dimensión de la $A/I$$0$. Pero, al $A$ es sólo un semilocal de anillo, ...

Que me ayude!

Answer 1

Sea $p$ un primer ideal que contiene $I$. Desde $m^{\nu}\subseteq p$ sigue que $m\subseteq p$. $m=\cap_{i=1}^n m_i\supseteq \prod_{i=1}^n m_i$, Así que hay un $i$ tal que $p\supseteq m_i$, por lo tanto, la igualdad. Esto demuestra que todos los primos en $A/I$ máximos, así $\dim A/I=0$. (De hecho, hemos demostrado que $m_i/I$ son los ideales sólo principales de $A/I$.)

Answer 2

Si usted está familiarizado con la Hopkins Levitzki teorema, entonces, una forma alternativa es tener en cuenta que el $R/I$ es también semilocal y Noetherian, y ha nilpotent radicales $m/I$, y así por H-L también es Artinian.

Es un maravilloso teorema acerca de la equivalencia de la ascendente y descendente de la cadena de condiciones para los módulos a través de semiprimary anillos.

(user26857 primaria respuesta, es preferible, si usted no sabe H-L o dispuesto a usarlo.)