Necesito encontrar $\operatorname{Im} f$

Question

Que $f$ ser analítica que $\operatorname{Re} ( f'(z))=2y$ y $f(1+i)=2$. Necesito encontrar $\operatorname{Im} f$.

Tomé $f(z)=u(x,y)+i v(x,y)$ pero no sé que $\frac{df(z)}{dz}=$? en términos de $u(x,y)$ y $v(x,y)$.

¿Alguno podría ayudarme en ese paso?

Answer 1

Sugerencia: En primer lugar encontrar $f'(z)$ por el método habitual de cálculo conjugados armónicos. (Use las ecuaciones de Cauchy-Riemann). Luego integrar para encontrar $f(z)$ hasta una constante de integración. Utilice su condición inicial $f(1+i)=2$ para determinar $f(z)$ única.

Answer 2

$$f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y$ $ Si $u_x=2y$ y $u=2xy+h(y)$ y $v_y=2y$ y $v=y^2+g(x)$. Tan % $ $$f(z)=2xy+h(y)+(y^2+g(x))i$también sabemos $f(1+i)=2.1.1+h(1)+(1^2+g(1))i=2$ y $v_x=-u_y$. Por lo tanto, $h(y)=0$ y $g(x)=-x^2$. Entonces $f(z)=2xy+(y^2-x^2)i$. Por lo tanto $Im(f)=y^2-x^2$.