¿Hay otras topologías interesantes en $\mathrm{Spec} (A)$ ¿que no sea el de Zariski?

Question

Puede que sea una pregunta algo estúpida, pero me he preguntado si es posible definir alguna otra topología en $\mathrm{Spec} (A)$ que la topología de Zariski de manera que también tiene algunas propiedades interesantes.

En primer lugar, soy nuevo, ya que este es mi primer encuentro con algo cercano o relacionado con la geometría algebraica, así que no te preocupes por mí =).

Y segundo, lo que me gustaría saber es si, por ejemplo, hay una topología en $\mathrm{Spec} (A)$ tal que, digamos, $\mathrm{Spec} (A)$ es Hausdorff o tiene alguna otra propiedad agradable (conectividad, compacidad, etc...), o por qué si tal topología existe, no es tan interesante como la topología de Zariski.

Nota: Estoy al tanto de una pregunta "similar" aquí . Sin embargo, no me interesa tanto el porqué de la importancia de la topología de Zariski, ya que creo que entiendo cómo surge de forma natural.

Answer 1

Que yo sepa no hay ninguna otra topología interesante en $\mathrm{Spec} (A)$ . Sin embargo:

1) Existen las llamadas "topologías de Grothendieck" en cualquier $\mathrm{Spec} (A)$ o, de forma más general, en un esquema arbitrario.
Son generalizaciones de la noción habitual de una topología y compensan la tosquedad de la topología de Zariski, ya que permiten resultados análogos a los de la topología algebraica: Secuencia de Gysin, fórmula de Künneth, dualidad de Poincaré, fórmula del punto fijo de Lefschetz, etc.
Fueron soñados por Weil y construidos por Grothendieck (con la ayuda de Mike Artin y otros), estimulados por una idea de Serre.
Su logro más espectacular fue la solución completa de las conjeturas de Weil de Grothendieck y Deligne.

2) Para los regímenes $X$ de tipo finito sobre $\mathbb C$ por ejemplo $\mathrm{Spec} (A)$ con $A$ una generación finita de $\mathbb C$ -de las álgebras, Serre demostró cómo dar el conjunto $X^{cl}$ de puntos cerrados de $X$ una topología y una gavilla de estructura tal que $X^{cl}$ se convierte en un espacio analítico complejo.
Se produce entonces una emocionante interacción (presagiada por Riemann, Chow y otros) entre el esquema $X$ y el espacio analítico $X^{cl}$ en el que el álgebra, la topología algebraica y el análisis se unen, para nuestro mayor deleite.
La teoría de Hodge es un ejemplo atroz de esa alianza.

Answer 2

Existe una generalización de la noción de topología llamada topología de Grothendieck. Grothendieck ha definido muchos ejemplos de topologías de Grothendieck en la categoría de esquemas, por ejemplo la topología de Etale, que es una noción utilizada en la demostración de las conjeturas de Weil.

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_topology