Todas las soluciones de la ecuación vectorial Ax = v + w dados los valores y vectores propios de A

Question

Lo que sigue es un ejercicio de la obra de Gilbert Strang Álgebra lineal y sus aplicaciones :

Supongamos que $A$ tiene valores propios $0,3,5$ con vectores propios independientes $u,v,w$ .
Encontrar una solución particular para $Ax = v+w$ . Encuentra todas las soluciones.

No es difícil encontrar que la solución particular puede ser $\frac{1}{3}v+\frac{1}{5}w$ . Aquí está mi pregunta :

¿Cómo puedo encontrar todo soluciones para la ecuación?

Si la ecuación es $Ax = 0$ hay que encontrar una base para el espacio nulo de $A$ . Sin embargo, en este caso, el lado derecho es $v+w$ .

Answer 1

Gracias a la sugerencia de Geoff Robinson, primero hay que encontrar una base para el espacio nulo. En este caso, $\{u\}$ puede ser la base. Entonces cualquier solución puede escribirse como $$x=ku+\frac{1}{3}v+\frac{1}{5}w\qquad k\in {\mathbb R}.$$

Esta puede ser la forma estándar de resolver la ecuación lineal no homogénea.