¿Cuál es una clase de grupos con una cierta condición de receptividad fuerte?

Question

Deje $G$ ser un countably infinita grupo discreto. Que nos llame a $G$ secuencialmente susceptibles, si hay un bijection $\mathbb{N}\to G,\; j\mapsto g_j$ de manera tal que los conjuntos de $F_k = \{g_1,\dots,g_k\}$ formar un Folner secuencia de $G$.

Cómo de grande es la clase de forma secuencial susceptibles de grupos?

La única ejemplos obvios que puedo pensar son los grupos de $\mathbb{Z}^m$ $m\in\mathbb{N}$ o (un poco más general) finitely generado abelian grupos. (Para $\mathbb{Z}^m$, se puede ver esto contando todos los $v\in\mathbb{Z}^m$$\|v\|_\infty=n$, en orden creciente $n=0,1,2,\dots$.

Puede usted pensar, muy interesante, no abelian ejemplos? Cualquier respuesta sería muy útil.

Editar:

Uno bastante grande de la clase de los ejemplos son finitely grupos generados con subexponential crecimiento. Vamos a dar una rápida prueba:

Deje $G$ ser un grupo. Recoger algunas finito electrógenos $S=S^{-1}\subset G$ y definir la longitud correspondiente métrica $$\ell: G\to\mathbb{N},\quad \ell(g)=\min\{k \;|\; g=s_1\cdot\dots\cdot s_k\;\text{for some}\; s_i\in S \}.$$ Entonces es bien sabido que la unidad de bolas $$B_n = \ell^{-1}(\{0,\dots,n \})$$ formar un Folner secuencia de $G$. Esto es debido a subexponential crecimiento, lo que significa que $\lim_{n\to\infty} |B_n|/|B_{n+1}|=1$. Luego de definir el bijection $j\mapsto g_j$ $G$ contando todos los elementos del grupo $g$$\ell(g)=n$, en orden creciente de $n$. Definir $F_k=\{g_1,\dots,g_k \}$ todos los $k$. Entonces es claro que $$\forall\; k: \exists n: B_n\subset F_k\subset B_{n+1}.$$ De ello se sigue para todas las $g\in G$ que $$\lim_{k\to\infty} \frac{|F_k\cap gF_k|}{|F_k|} \geq \lim_{n\to\infty} \frac{|B_n\cap gB_n|}{|B_{n+1}|} = \lim_{n\to\infty} \frac{|B_n|}{|B_{n+1}|}\cdot \frac{|B_n\cap gB_n|}{|B_n|} = 1,$$ lo que confirma que el $F_k$ formar un Folner secuencia.

Answer 1

Cualquier grupo localmente finito (es decir un grupo $\Gamma$ tal que $\Gamma=\cup \Gamma_i$ donde $\Gamma_1\subset\Gamma_2\subset\cdots$ y $\Gamma_i$ son finito para todos $i$) tiene esta propiedad. De hecho, no es inmediatamente obvio para mí que esto es estrictamente más fuerte que la receptividad. No puedo pensar en un ejemplo de un grupo favorable que no tiene esta propiedad.