Deje $G$ ser un countably infinita grupo discreto. Que nos llame a $G$ secuencialmente susceptibles, si hay un bijection $\mathbb{N}\to G,\; j\mapsto g_j$ de manera tal que los conjuntos de $F_k = \{g_1,\dots,g_k\}$ formar un Folner secuencia de $G$.
Cómo de grande es la clase de forma secuencial susceptibles de grupos?
La única ejemplos obvios que puedo pensar son los grupos de $\mathbb{Z}^m$ $m\in\mathbb{N}$ o (un poco más general) finitely generado abelian grupos. (Para $\mathbb{Z}^m$, se puede ver esto contando todos los $v\in\mathbb{Z}^m$$\|v\|_\infty=n$, en orden creciente $n=0,1,2,\dots$.
Puede usted pensar, muy interesante, no abelian ejemplos? Cualquier respuesta sería muy útil.
Editar:
Uno bastante grande de la clase de los ejemplos son finitely grupos generados con subexponential crecimiento. Vamos a dar una rápida prueba:
Deje $G$ ser un grupo. Recoger algunas finito electrógenos $S=S^{-1}\subset G$ y definir la longitud correspondiente métrica $$\ell: G\to\mathbb{N},\quad \ell(g)=\min\{k \;|\; g=s_1\cdot\dots\cdot s_k\;\text{for some}\; s_i\in S \}.$$ Entonces es bien sabido que la unidad de bolas $$B_n = \ell^{-1}(\{0,\dots,n \})$$ formar un Folner secuencia de $G$. Esto es debido a subexponential crecimiento, lo que significa que $\lim_{n\to\infty} |B_n|/|B_{n+1}|=1$. Luego de definir el bijection $j\mapsto g_j$ $G$ contando todos los elementos del grupo $g$$\ell(g)=n$, en orden creciente de $n$. Definir $F_k=\{g_1,\dots,g_k \}$ todos los $k$. Entonces es claro que $$\forall\; k: \exists n: B_n\subset F_k\subset B_{n+1}.$$ De ello se sigue para todas las $g\in G$ que $$\lim_{k\to\infty} \frac{|F_k\cap gF_k|}{|F_k|} \geq \lim_{n\to\infty} \frac{|B_n\cap gB_n|}{|B_{n+1}|} = \lim_{n\to\infty} \frac{|B_n|}{|B_{n+1}|}\cdot \frac{|B_n\cap gB_n|}{|B_n|} = 1,$$ lo que confirma que el $F_k$ formar un Folner secuencia.
