Electromagnética 4-potencial básicos y el índice de contracción

Question

Estoy tratando de aprender acerca de la electrodinámica relativista en el mío propio, y estoy luchando con los derivados de la 4-potencial y el índice (Einstein) notación.

Creo entender expresiones como $\partial_\mu A^\mu$. El índice se repite y es una vez y una vez abajo, así que me gustaría ampliar la suma: $\partial_0 A^0 + \partial_1 A^1 + \partial_2 A^2 + \partial_3 A^3$, lo que me da un escalar.

1. ¿Cómo debo interpretar algo como esto: $(\partial_\mu A_\nu)(\partial^\mu^\nu)$ ? Estamos sumando más de los dos índices esta vez, lo cual está bien. Lo que me confunde es que estamos teniendo un derivada covariante de un vector covariante. Hace falta "convertir" $A_\nu$ en el primer período de contravariante, así: $(\partial_\mu^\rho \eta_{\nu\rho})(\partial^\mu A_\sigma\eta^{\nu\sigma})$?

   Supongo que mis dudas surgen del hecho de que veo un vector covariante como ser completamente distinta a la del objeto a partir de una contravariante. El derivada covariante $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ de diferencia con respecto a los componentes de la vector contravariante $x$. Así que no entiendo cómo un la operación puede ser aplicada a un vector que no contravariante.

2. ¿Cómo debo interpretar los términos tales como"$(\partial_\mu A^\mu)^2$ ? Es $\left(\partial_0 A^0 + \partial_1 A^1 + \partial_2 A^2 + \partial_3 A^3\right)^2$ o hay algo más?
3. Según algunos libros de texto, $(\partial_\mu \phi)^2 = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \phi\partial_\nu\phi$, pero no entiendo por qué. Para me $\partial_\mu \phi$ es simplemente la derivada de un escalar $\phi$ con respecto a algunos (no especificado) componente $\mu$ de un contravariante 4-vector $x$. En lugar de ello, a juzgar por el lado derecho, debe interpretarse como un vector $(\frac{\partial}{\partial x^0},\boldsymbol{\nabla})\phi$ cual es entonces el cuadrado. Es simplemente descuidado la notación, o estoy siendo estúpido?

Gracias.

EDITAR:

1. Son los siguientes, a continuación, verdad? $$\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \left(\partial_\mu A_\nu\right) = 1$$ $$\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \left(\partial^\mu A^\nu\right) = 0$$
2. También, puedo subir y bajar los índices de una derivada parcial?

Answer 1

1) Usted tiene la idea correcta acerca de $\partial_{\mu}A^{\mu}$ y 2) $(\partial_{\mu}A^{\mu})^2$.

Para el resto de ella, estás goign a tener que ser cuidadoso acerca de la covariante y contravariante índices de $\partial_\mu$$A^{\mu}$. Puesto que ya se va con $A$ tener vector de índices, creo que usted debe seguir para que su "base" de la versión de $A$ por ahora. Ahora, usted correctamente parecen nota que bajar y subir se hace con $\eta_{\mu\nu}$ y su inverso $\eta^{\mu\nu}$ (que son la misma matriz para Mikowskian coordenadas). Por lo tanto, usted encontrará que una expresión como $A_{\mu}A^{\mu} = \eta_{\mu\nu}A^{\mu}A^{\nu} = -(A^{0})^{2} + (A^{1})^{2} + (A^{2})^{2} + (A^{3})^{2}$, y se puede extender esto a la mayoría de los otros ejemplos que mencionas.

3) aplicación de $\partial_\mu$ a un escalar $\phi$ le da un resultado $\partial_{\mu}\phi$ que es la mejor interpretación de una forma, no como un escalar-eso es porque usted tiene la libre índice $\mu$ flotando en el aire, y si el cambio de coordenadas, usted tendrá que aplicar la regla de la cadena para obtener la respuesta correcta para su nuevo $\partial_{\mu}\phi$. esta es la razón por la que usted tiene que aplicar la inversa de la métrica a la "plaza" $\partial_{\mu}\phi$.

4) Si usted está tomando las variaciones del vector de valores de las cantidades, se debe dejar un maniquí índice para su variacional plazo:

$\begin{equation} \frac{\delta}{\delta A^{\mu}}A^{\nu} = \delta^{\nu}{}_{\mu} \end{equation}$

Esto le dará términos como

$\begin{equation} \frac{\delta}{\delta A^{\alpha}} A^{\mu}A_{\mu} = \frac{\delta}{\delta A^{\alpha}}(\eta_{\mu\nu}A^\mu A^{\nu}) = \eta_{\mu\nu}\delta^{\mu}_{\alpha}A^{\nu} +\eta_{\mu\nu}A^{\mu}\delta^{\nu}_{\alpha} = 2 A_{\alpha} \end{equation}$

que debe parecer bastante razonable de su cálculo I basado en la intuición. Del mismo modo, usted probablemente debería pensar de $\frac{\delta}{\delta \partial_{\alpha}A_{\beta}}\partial_{\mu}A_{\nu} = \delta^{\alpha}_{\mu}\delta^{\beta}_{\nu}$. Si usted está teniendo una variación de la versión de una cantidad con respecto a la versión de la cantidad, sólo tiene que utilizar la métrica para elevar/bajar el destino antes de tomar la variación, y arreglar todo después de que el hecho uso de subida y bajada de los convenios y la Kroneker deltas.