La imagen inversa de una unión es igual a la unión de las imágenes inversas

Question

Sólo me pregunto si mi siguiente solución es cierta.

Dejemos que $X,Y$ sean conjuntos, y que $f:X\to Y$ sea una función, y que $\{Y_i\}_{i\in I}$ sea una familia de subconjuntos de $Y$ . (Nota: Utilizo las igualdades en lugar de la contención mutua)

$$\begin{align}f^{-1}\left[\bigcup_{i\in I} Y_i\right] &= \{x \in X: \mbox{there exists an}\quad i \in I\mbox{ such that } y \in Y_i,f(x)=y\} \\&=\bigcup_{i \in I} f^{-1}\left[Y_i\right] \end{align}$$

Inicialmente no sé cómo pasar de la izquierda a la derecha, pero cuando pongo ambos conjuntos en notación de conjuntos, resultan ser los mismos, de ahí la prueba de una línea. ¿Algo va mal en última instancia?

Answer 1

La afirmación es cierta, y su argumento es esencialmente correcto, pero yo diría que te estás saltando pasos para lograr esa identificación. (Además, no debería tener esos $\infty$ sobre el símbolo de la unión). En su lugar, yo añadiría:

$$\begin{align*} f^{-1}\left[\bigcup_{i\in I}Y_i\right] &= \left\{ x\in X\;\left|\; f(x)\in\bigcup_{i\in I}Y_i\right\}\right.\\ &=\Biggl\{x\in X\;\Biggm|\; \exists i\in I\text{ such that }f(x)\in Y_i\Biggr\}\\ &= \bigcup_{i\in I}\{x\in X\mid f(x)\in Y_i\}\\ &= \bigcup_{i\in I}f^{-1}[Y_i]. \end{align*}$$ La primera igualdad es por definición de imagen inversa; la segunda por definición de la unión; la tercera es por definición de unión; y la cuarta por definición de imagen inversa.