La secuencia de $a_1 ,a_2 ,a_3 ,...$ de los enteros positivos satisface $\text{gcd}(a_i ,a_j ) = \text{gcd} (i, j)$$i \neq j$. Demostrar que $a_i = i$ todos los $i$.
Fuente: Ruso Olimpiada Matemática, 1995.
Hay soluciones simples a este problema que puede sugerir?
Deje $a_i=j$. A continuación, $i=\gcd(i,2i)=\gcd(a_i,a_{2i})=\gcd(j,a_{2i})$, lo $i|j$, es decir,$i|a_i$, para todos los $i$.
De nuevo, deje $a_i=j$; desde arriba $i|j$. Pero también se $\gcd(i,j)=\gcd(a_i,a_j)=\gcd(j,a_j)=j$, lo $j|i$. Por lo tanto, $i=j=a_i$ todos los $i$.
En realidad la última línea puede ser reducido a: de Nuevo, deje $a_i=j$. A continuación, $i=\gcd(i,a_i)=\gcd(i,j)=\gcd(a_i,a_j)=\gcd(j,a_j)=j$.
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