Si $K$ es compacto y $C$ está cerrado en $\mathbb{R}^k$ demuestre que $K + C$ se cierra mediante una prueba "directa

Question

El ejercicio Rudin 4.25(a) dice:

Si $K$ es compacto y $C$ está cerrado en $\mathbb{R}^k$ demuestre que $K + C$ está cerrado.

Las pistas del problema sugieren una prueba demostrando que el complemento de $K + C$ está abierto, un camino que he podido seguir hasta llegar a una prueba satisfactoria. Sin embargo, quiero demostrarlo "directamente", mostrando que cualquier punto límite de $K + C$ debe estar dentro de $K + C$ Sin embargo, me encuentro con el siguiente problema:

Mi intento: Supongamos que $z$ es un punto límite de $K + C$ . Entonces existe una secuencia $\{z_n\} \to z$ en $K + C$ . Puesto que cada $z_i$ es un elemento de $K + C$ podemos escribir $z_i = k_i + c_i$ para secuencias $\{k_i\}$ , $\{c_i\}$ en $K$ y $C$ respectivamente. Ahora, simplemente debemos demostrar que $\{k_i\} \to k \in K$ y $\{c_i\} \to c \in C$ por hacer.

Sin embargo, he observado que $\{k_n\}$ y $\{c_n\}$ no convergen necesariamente cuando lo hace su suma. Por ejemplo, en $\mathbb{R}$ Toma $k_i = (-1)^i$ y $c_i = (-1)^{i+1}$ . Entonces ni $\{k_n\}$ ni $\{c_n\}$ convergen, pero su suma sí.

¿Hay alguna sugerencia sobre cómo evitar este problema y completar esta prueba más "directa"?

Gracias.

Answer 1

En $K$ es compacta, existe una subsecuencia $k_{i_j}$ tal que cubra a algunos $k \in K$ . En particular, la subsecuencia $z_{i_j} \rightarrow z$ . Así, $c_{i_j}= z_{i_j} -k_{i_j} \rightarrow z - k \in C$ ya que $C $ está cerrado. Entonces, $$ z= k + (z-k) \in K + C. $$

Answer 2

Existe una prueba utilizando su inicio. El paso que te faltaba era usar completamente la compacidad de $K$ :

Sea $z$ sea cualquier punto límite de $K + C$ . Entonces existe una secuencia infinita de puntos $\{z_n\} \in K + C$ que converge a $z$ . Definir secuencias $\{k_n\} \in K$ y $\{c_n\} \in C$ tal que $z_n = k_n + c_n$ para todos $n$ . $\{k_n\}$ es una secuencia infinita en un espacio compacto, por lo tanto $\{k_n\}$ debe tener algún punto límite $k \in K$ . Así, para cualquier $\varepsilon > 0$ existe un índice $n$ para lo cual $|k - k_n| < \varepsilon / 2$ y $|k_n + c_n - z| < \varepsilon / 2$ . Ponga $c = z - k$ . Por la desigualdad del triángulo, tenemos $|c_n - c| < \varepsilon$ en este $n$ . Por lo tanto $c$ es un punto límite de $\{c_n\}$ . Esto demuestra que $z = k+c$ para $k \in K$ y $c \in C$ Por lo tanto $K + C$ está cerrado.