Deje $f$ ser monótona creciente en función $[c,\infty)\rightarrow \mathbb{R}^{\geq 0}$ satisfacción $f(x)/x^\alpha\to 0$ todos los $\alpha>0$.
Es cierto que $\int_c^x \frac{dt}{f(t)} \sim \frac{x}{f(x)}$$x\to \infty$?
Esta pregunta está inspirada en el hecho de que $\operatorname{li}(x)\sim x/\log x$. A mí me parece que en la heurística de motivos debe ser cierto: en el caso de $f(t)=\log t$, lo que sucede es que el $\log$ crece lo suficientemente lento como para que se pasa la mayoria del tiempo" en el intervalo de $[c,x]$ cerca de su valor en el punto final. Por lo tanto $t/\log t$ es bien aproximada por $t/\log x$ "más de" el intervalo de integración. La longitud del intervalo es asintóticamente $x$, y esta es la explicación, moralmente, de todos modos. Por lo tanto se debe que otras funciones que crecen "lo suficientemente lento como para" trabajar de la misma manera. Y a mí me parece (esto es extremadamente unrigorous) que si $f(x)/x^\alpha\to 0,\forall \alpha>0$, que debe ser "lo suficientemente lento", porque
$$\int_c^x \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{1-\alpha}\cdot \frac{x}{x^\alpha} - \text{const.}$$
y $\frac{1}{1-\alpha}\to 1$$\alpha\to 0$. Sin embargo, he sido incapaz de satisfacer a mí mismo con una adecuada prueba. La prueba yo sé que en el $f=\log$ caso de no generalizar, porque implica las características específicas de un determinado integración por partes y consiste en hechos como $\text{const.}/\log x\to 0$ que parece probable que sea extrínseca, el resultado para mí. Hay una prueba de que funciona en la generalidad, en los que yo he planteado la pregunta? O no es verdad?
