Manera más fácil de calcular $ \int_{0}^{1} \frac{ \log (1+x)}{x} dx$

Question

Cuál es la forma más fácil de calcular

$$ \int_{0}^{1} \frac{ \log (1+x)}{x}\, dx$$

?

Necesita ayuda.

Answer 1

$$I=\int_{0}^{1}\frac{\log(1+x)}{x}\,dx = \int_{0}^{1}\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}x^{n-1}}{n}\,dx=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{2}\zeta(2)=\color{red}{\frac{\pi^2}{12}}. $$

Answer 2

Tenemos una integral indefinida $$ \int\frac{\ln(1+x)} {x} dx=-\operatorname{Li}_2(-x). $$ Por lo tanto $$ \int_ 0 ^ 1 \frac{\ln(1+x)} {x} dx=-\operatorname{Li}_2(-1) = - \zeta(2)=-\frac{\pi^2}{12 \frac 1 2}. $$

Por supuesto esto es excesivo para este integral, pero este es el método de elección si el límite superior es $1/2$ o $\phi$.