Prueba geométrica de la desigualdad

Question

Mientras estaba en la AOPS, vi este problema interesante. Me preguntaba cuántos enfoques diferentes podrían utilizarse para abordar el problema.

En otras palabras, busco formas interesantes y únicas de resolver la cuestión:

Demuestre geométricamente que $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\pi$

Answer 1

El siguiente método es elemental, pero quizá no muy elegante. ( Esperemos que otros encuentren una solución más bonita. )

( NB : Se puede hacer clic en cada una de las figuras para ver una versión ampliada).

Antes de empezar, hay que señalar que el error relativo absoluto de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ con respecto a $\pi$ es bastante pequeño. Efectivamente, $$ \left|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3} - \pi}{\pi}\right| < 0.0015 = 0.15\% \,, $$ por lo que parece que cualquier construcción geométrica tendría que ser bastante precisa.

Nuestra solución se forma construyendo 16 triángulos rectángulos adyacentes (no superpuestos). Ocho de estos triángulos tienen área $\sqrt{2}/64$ cada uno y los otros ocho triángulos son de área $\sqrt{3}/64$ . La construcción se realiza de tal forma que, colectivamente, son mayores que 1/8 de un círculo unitario.

A continuación se muestra la imagen final seguida de un debate.

Resultado final

Los triángulos en azul son cada uno de área $\sqrt{2}/64$ y cada verde tiene área $\sqrt{3}/64$ . La línea punteada es la línea de cuarenta y cinco grados, de modo que la porción del círculo comprendida entre ella y el $x$ -El eje es un octavo del todo y por tanto tiene área $\pi/8$ .

El panel derecho es una versión ampliada del panel izquierdo. El pequeño cuadrado gris en el grado cuarenta y cinco del panel izquierdo muestra el cuadro de "zoom" que corresponde a toda la figura del panel derecho.

Construir rectas tangentes de longitud $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$

Para construir los triángulos necesarios, necesitamos poder construir rectas tangentes a la circunferencia unitaria de longitud $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ respectivamente.

A continuación se muestra una de estas construcciones de un segmento de línea de longitud $\sqrt{2}$ .

He aquí una construcción de un segmento de recta de longitud $\sqrt{3}$ .

Obsérvese que una vez que tenemos un segmento de línea de longitud $L$ es sencillo subdividirlo para crear segmentos de longitud $2^{-n} L$ para cualquier número entero no negativo $n$ .

Ejemplo de construcción de triángulos rectángulos emparejados

Formamos los triángulos rectángulos en parejas reflejadas de forma que siempre dominen el segmento correspondiente del círculo. He aquí un ejemplo de construcción con una longitud lateral de $\sqrt{2}/4$ tangente al círculo unitario. Los dos triángulos juntos tienen evidentemente un área $\sqrt{2}/4$ en este ejemplo.

Construcción final

Para obtener la construcción final, utilizamos longitudes de lado de $\sqrt{2}/32$ y $\sqrt{3}/32$ respectivamente. Construyendo cuatro pares adyacentes cada uno de tales triángulos, podemos dominar estrictamente un octavo de círculo, por lo tanto $$ \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} > \frac{\pi}{8} $$ que es claramente equivalente a la desigualdad deseada.

Answer 2

Las herramientas que necesitamos para ello nos las proporcionó en 1654 Christiaan Huygens en su De Circuli Magnitudine Inventa . Confiaré en su Propuesta IX así como esta derivación en Wikipedia, ambos de naturaleza totalmente geométrica.

El primero establece que la circunferencia de un círculo es menor que dos tercios del perímetro de un polígono regular inscrito más un tercio del perímetro de un polígono regular circunscrito con el mismo número de lados, mientras que la segunda da el perímetro de un polígono regular inscrito como la media geométrica de los perímetros de un polígono regular circunscrito con el mismo número de lados y un polígono regular inscrito con la mitad del número de lados, y el perímetro de un polígono regular circunscrito como la media armónica de los polígonos regulares inscrito y circunscrito con la mitad del número de lados.

Así, denotando el perímetro de un regular $n$ -gon inscrito en el círculo unitario por $u_n$ y el perímetro de una regular $n$ -circunscrito alrededor del círculo unitario por $U_n$ tenemos:

$$u^2_{2n}=u_nU_{2n}\;,$$

$$\frac2{U_{2n}}=\frac1{u_n}+\frac1{U_n}\;,$$

$$2u_n+U_n\gt6\pi\;.$$

Si sembramos la recurrencia con hexágonos regulares y escribimos $\sigma=2-\sqrt3$ obtenemos

$$ \begin{array}{c|c|l} n&u_n&U_n&2u_n+U_n\\ \hline\\ 6&6&4\sqrt3&12+4\sqrt3\\ 12&12\sqrt{\sigma}&24\sigma&24(\sqrt\sigma+\sigma) \end{array} $$

Así $4(\sqrt\sigma+\sigma)\gt\pi$ . Un par de pasos elementales de cuadratura dan como resultado $\sqrt2+\sqrt3\gt4(\sqrt\sigma+\sigma)$ y, por tanto $\sqrt2+\sqrt3\gt\pi$ .