Que $X$ sea un espacio complejo de Banach de dimensión infinita. ¿Existe un subespacio dimensional finito de $X$ de dimensión (finita) arbitraria que se complementa con una proyección de norma 1?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
alejandro123
Puntos
163
No estoy totalmente seguro de lo que quieres decir con "que se complementa con una proyección de norma 1", pero supongo que quieres decir: Si $Y$ es un subespacio de $X$, hay un no-trivial de proyección $P$ tal que $Y\oplus P(X) = X$. Si esto no es lo que quiere decir, entonces estoy sorryt por el malentendido.
Existe una proyección de si , y sólo si, el es una proyección $\hat P$ tal que $\hat P (X) = Y$, debido a que, a continuación, $P$ puede ser elegido como $1-\hat P$.
Para averiguar para que subespacios $Y$ esto es cierto, tomar el mapa de $x \mapsto y$ donde $y$ es el único vector de $Y$ tal que $x$ puede ser escrito como $x=y+u$, para algunas de las $u$ en un subespacio complementario. Este mapa es una proyección si y sólo si es continua, pero ahora es fácil ver que esto es cierto si y sólo si $Y$ es un subespacio cerrado.
Por lo tanto para todos finito dimensionales subespacios y para todos infinito dim. subespacios cerrados de la respuesta a su pregunta es sí, de lo contrario no.
