¿Cómo probar que $ E:=ABC D $ también es positiva definida?

Question

Ahora creo que esto es cierto:

Vamos $A$, $B$, $C$ y $D$ ser simétrica positiva definida matrices y supongamos que $E:=ABCD $ es simétrica. ¿Cómo podría yo demostrar que $E$ también es positiva definida?

la cuestión similar se puede ver: Cómo probar que $D := ABC$ también es positiva definida?

@Paisaje que esto no es cierto, De verdad? Gracias a todos

Answer 1

Usted no puede probarlo, porque no es un contraejemplo. Vamos

$$A = \begin{bmatrix} 58 & 50 & 30 \\ 50 & 66 & 38 \\ 30 & 38 & 22 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 8 & 6 & 8 \\ 6 & 5 & 4 \\ 8 & 4 & 65 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 34 & 26 & 46 \\ 26 & 56 & 52 \\ 46 & 52 & 83 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} \frac{176398144863}{734764024} & \frac{2084349747}{734764024} & -\frac{401393975}{91845503} \\ \frac{2084349747}{734764024} & 123 & 74 \\ -\frac{401393975}{91845503} & 74 & 45 \end{bmatrix}.$$

Entonces $$ABCD = \begin{bmatrix} \frac{3747748968739763}{91845503} & \frac{4372037328164921}{91845503} & \frac{2546983749851550}{91845503} \\ \frac{4372037328164921}{91845503} & \frac{5099682487522571}{91845503} & \frac{2970895299665430}{91845503} \\ \frac{2546983749851550}{91845503} & \frac{2970895299665430}{91845503} & \frac{1730738016057502}{91845503} \end{bmatrix}.$$

$Un$, $B$, $C$, $D$ are symmetric positive definite, while $ABCD$ is symmetric, but not positive semidefinite (the determinant of the principal leading submatrix of order $2$ is $-2.82211 \cdot 10^{11}$).

Esto fue generado por algunas carreras del código de Mathematica:

RandPDM[n_] := Module[
   {tmp},
   While[True,
    tmp = RandomInteger[7, {n, n}];
    If[Det[tmp] != 0, Break[]]
    ];
   Return[Transpose[tmp].tmp];
   ];
M1 = RandPDM[3];
M2 = RandPDM[3];
M3 = RandPDM[3];
M4 = RandPDM[3];
M4[[1, 1]] = a;
M4[[1, 2]] = b; M4[[2, 1]] = b;
M4[[1, 3]] = c; M4[[3, 1]] = c;
M4[[2, 2]] = d; M4[[2, 2]] = d;
M4[[2, 3]] = e; M4[[3, 2]] = e;
(M = M1.M2.M3.M4) // MatrixForm
sol = FindInstance[{
   Transpose[M] == M,
   a > 0, Det[M4] > 0, Det[Take[M4, 2, 2]] > 0
   }, {a, b, c, d, e}]
(M4 = (M4 /. sol[[1]])) // MatrixForm
(M = (M /. sol[[1]])) // MatrixForm
all = {M1, M2, M3, M4, M};
Map[MatrixForm, all]
Map[PositiveDefiniteMatrixQ, all]

La línea Map[MatrixForm, all] salidas de los cinco (los de arriba son una edición menor de dicha salida con TeXForm en lugar de MatrixForm), mientras que la última línea comprueba su positivo definitess, con la salida de

{True, True, True, True, False}

En caso de que quieras probar estas matrices para usted, aquí es el Mathematica salida para ellos:

M1 = {{58,50,30},{50,66,38},{30,38,22}};
M2 = {{8,6,8},{6,5,4},{8,4,65}},{{34,26,46},{26,56,52},{46,52,83}};
M3 = {{176398144863/734764024,2084349747/734764024,-(401393975/91845503)},{2084349747/734764024,123,74},{-(401393975/91845503),74,45}};
M4 = {{3747748968739763/91845503,4372037328164921/91845503,2546983749851550/91845503},{4372037328164921/91845503,5099682487522571/91845503,2970895299665430/91845503},{2546983749851550/91845503,2970895299665430/91845503,1730738016057502/91845503}};

Con suerte, no me lío estos durante la edición. Por si acaso, voy a seguir Mathematica se ejecuta con la solución anterior para unas horas más, en caso de que usted tiene algunas preguntas.