Hay cuatro órbitas. Antes de que nos fijamos en ellos vamos a describir cómo se representan las líneas de la dirección. Considerar el cero, los vectores $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}$$\mathbb{R}^2$. Podemos decir $\mathbf{v}$ $\mathbf{w}$ son equivalentes si no es $r\in \mathbb{R}$ tal que $r>0$$\mathbf{v}=r\mathbf{w}$. Esto es claramente una relación de equivalencia, y las clases de equivalencia son 1-1 en correspondencia con las líneas dirigidas por el origen.
Además de la acción del grupo preserva las clases de equivalencia y esta acción es el mismo que el de la acción de grupo en las líneas (estoy asumiendo que esta es la acción que usted tiene en mente).
Ahora podemos elegir algunos canónica de representantes. Dado $\begin{pmatrix}a^{\prime}\\b^{\prime}\\\end{pmatrix}$ $b^{\prime}\neq 0$ multiplica por el real positivo $\frac{1}{|b^{\prime}|}$ para obtener los vectores $\begin{pmatrix}a\\1\\\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}a\\-1\\\end{pmatrix}$ estos son canonial representitives. Por otro lado, si $b^{\prime}=0$ multiplicar por $\frac{1}{|a^{\prime}|}$ para obtener los vectores $\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}-1\\0\\\end{pmatrix}$.
Dos de las órbitas son los únicos, los positivos y negativos $x$-eje.
$$\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\\end{pmatrix}$$
Los restantes dos órbitas consisten, en primer lugar, de todas las líneas dirigidas por encima de la $x$-eje y, en segundo lugar, las dirigidas por debajo de la $x$-eje.
$$\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+x\\1\\\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\-1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+x\\-1\\\end{pmatrix}$$
Donde aquí se nota que como $x\in \mathbb{R}$ los valores de $a+x$ también se ejecuta a través de los números reales.
En resumen, hay cuatro clases, el positivo y el negativo $x$-las direcciones de los ejes, ambos con una línea en cada órbita; y todas las líneas dirigidas por encima y por debajo de la $x$-eje, cada uno con un número infinito de líneas (las líneas de la misma en cada realidad, pero con direcciones opuestas).
