Una cuerda une la luna a la tierra. ¿Qué pasa?

Question

Considerar a la Tierra (masa $M$, radio $R$, la rotación alrededor de su propio eje en $\Omega$) y la luna (masa $m$, radio $r$, con rotación axial igual a $\omega_m$), cuyo centro de masas se $d$ aparte. Giran alrededor de su centro de gravedad en $\omega_e$ $\omega_m$ radianes/segundo, respectivamente (creo $\omega_m=\omega_e$ a conservar el impulso).

Ahora atar un punto en la superficie de la Tierra hasta un punto sobre la superficie de la Luna usando una luz, inextensible (y muy fuerte) trozo de cuerda. Suponga que la Tierra y la Luna son rígidos e indestructible.

Lo que sucede?

Sería bueno encontrar una solución de tipo general, pero para un primer análisis puede ser más fácil asumir que $M \gg m$, por lo que la rotación de la Tierra alrededor del centro de gravedad es despreciable y el baricentro $\approx$ la Tierra es el centro de la masa. Otro (tal vez razonable) suposición es que la rotación tiene lugar en un plano que la órbita de la luna es circular, y que ambos cuerpos tienen densidad uniforme.

Aquí están algunos de mis pensamientos basados únicamente en la intuición, siéntase libre de ignorar en responder a la pregunta:

1. La luna es inmediatamente tiró en ( $\Omega_e>\omega_m$ ) y se pega a la Tierra como un percebe. Yo creo que esto puede ocurrir si $\Omega_e \gg \omega_m$$M\gg m$.
2. Si $\omega_m$ es lo suficientemente grande, la de la luna antes de que inicialmente se jaló, luego arrojados hacia afuera de nuevo como $\omega_m(t)$ aumenta.
3. Si $m\approx M$, la Tierra y la Luna forman una mancuerna-tipo de sistema (es decir, la cadena no ha tenido mucho efecto, como es el caso de todos modos en 'binario' sistemas donde $M=m$).

Answer 1

Nota: este es un problema difícil, que depende de muchos factores. Ergo dar respuestas completas que ir a través de todas las posibilidades es un poco difícil. Por ejemplo, el caso cambia drásticamente dependiendo de donde se conectan los puntiformes en la Tierra(es decir, el polo norte o ecuador), o si la Luna está en su apogeo o perigeo o en algún otro lugar de su órbita. Voy a escribir algunos crudos pensamientos y dar algunos números ásperos. Creo que la real simulaciones por ordenador son necesarios para respuestas más detalladas.

Cualitativa De Los Hechos:

1. Cuando le damos la cadena, si la Luna está en su apogeo la destrucción, obviamente, será mínimo.
2. Dado que la Tierra y la Luna son (casi)de la esfera, debido a la órbita de la Luna inclinación de su eje de inclinación; la cadena se envuelva alrededor de la Tierra un número finito de veces. Voy a tratar de estimar en la sección siguiente.
3. Incluso si la cadena inicialmente se envuelve alrededor de la Tierra, debido a la constante de torsión aplicado en la Tierra, la rotación de la Tierra será más lento, y la cadena eventualmente se desenvuelva.
4. Aunque la Tierra y la Luna no colisionan los cambios en las fuerzas de marea durante el día y la longitud será dramático.
5. Los cambios de la Tierra en el período alrededor del Sol(año) van a ser insignificantes.
6. La cadena de la maniobra en la Tierra va a cambiar(en más de la mitad de la Tierra de la cara considerablemente en el corto plazo.
7. La cadena de la tensión presumiblemente afectan a las placas tectónicas en los movimientos(deriva continental) y causar terremotos severos.
8. Dependiendo de donde sujetar la cadena, también cambiará la Tierra sobre su eje de rotación; es decir, el ecuador y el Polo de la Estrella va a cambiar.

Cuantitativa Apreciaciones:

Estas son las estimaciones que presumiblemente se hizo en la parte de atrás de una servilleta de cóctel.

• ¿Cuántas veces va a la cuerda de rap alrededor de la Tierra? O, equivalentemente, ¿cuál será la longitud de la cuerda enredada alrededor de la Tierra?

La media de la inclinación de la órbita lunar para el plano de la eclíptica es $\theta = 5.145°$. Por lo tanto, la cuerda de rap sólo un número finito de veces alrededor de la Tierra. Suponiendo que el puntito de estar en Ecuador, voy a encontrar un límite superior y un límite inferior, a continuación, tomar su media geométrica como una conjetura razonable (Una técnica válida en problemas de Fermi)por el importe de la cadena golpeó alrededor de la tierra. El límite superior viene de rap de una cuerda alrededor de un cilindro de radio y la altura $R_E$.

$$d_{up}= \frac{R_E}{\sin{\theta}} \approx 11 R_E \approx 7.1 \times 10^{7} \text{m}$$ El límite inferior es básicamente la mitad de ecuador de la longitud: $$d_{down}=\pi R_E \approx 2.0 \times 10^7 \text{m}$$ $$d \approx \sqrt{d_{up}d_{down}} = \sqrt{11 \pi}R_E \approx 5.9 R_E \approx 3.8 \times 10^7 \text{m}$$

es decir, la Luna se consigue alrededor de $10 \%$ más.

• El nuevo día: O ¿cuál será la nueva definición de una hora!

Después de sujetar la Luna y la Tierra juntos, y después de todos los movimientos tambaleantes se calme y que el sistema alcanza su constante rutina de movimiento de nuevo (la cuerda ya no se envuelve alrededor de la Tierra); la Luna estará de nuevo en su inicial de distancia de la Tierra; sin embargo, la Tierra y la Luna estará girando con una velocidad angular igual a $\omega$. Podemos estimar que esta por la conservación del momento. La respuesta puede depender de si atribuimos la cadena en la Luna apogeo o perigeo, así que voy a estimar ambos casos.

El inicial impulso angular de todo el sistema del centro de masa, será(haciendo caso omiso de inclinación axial): $$L=\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_E {r_E}^2 \Omega + \frac{2}{5}M_M {R_M}^2 \omega_M + M_M {r_M}^2 \Omega$$ donde $M_E$ y $M_M$, $R_E$ y $R_M$, $r_E$ y $r_M$, $\omega_E$ y $\omega_M$ son de la Tierra y de la Luna, la masa, el radio, la distancia a la COM y la frecuencia angular alrededor de sí mismos, respectivamente. Pero sabemos que: $$\omega_M = \Omega \\ M_E r_E = M_M r_M$$ $$\Rightarrow L=\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_M \Omega \left( \frac{2}{5}R_M^2 + r_M(r_M + r_E)\right) \\ \approx \frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_M \Omega \left( r_M^2 \right)$$

Escrito el momentum angular después: $$L=\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \Omega' + M_E {r_E}^2 \Omega' + \frac{2}{5}M_M {R_M}^2 \Omega' + M_M {r_M}^2 \Omega' \\ \approx \left( \frac{2}{5}M_E {R_E}^2 + M_M r_M^2\right) \Omega'$$

$$T'=\frac{2 \pi}{\Omega'} \approx \frac{2\pi \left( \frac{2}{5}M_E {R_E}^2 + M_M r_M^2 \right)}{\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_M \Omega r_M^2 } = \frac{2 \pi}{\omega_E} \frac{\frac{2}{5} \frac{M_E}{M_M}+\left(\frac{r_M}{R_E} \right)^2}{\frac{2}{5} \frac{M_E}{M_M}+\left(\frac{r_M}{R_E} \right)^2 \frac{\Omega}{\omega_E}}$$

Tomar los valores desde aquí y aquí y aquí, vamos a obtener:

$$T' \approx 22.1 \text{day}$$ Que es muy larga. Para el perigeo y apogeo, el día de veces le sean respectivamente: $$T'_{p}=21.6 \text{day} \\ T'_{a}=22.5 \text{day}$$ La diferencia no es tan significativa, aunque.

Para ser completado

Answer 2

Las roturas de la cadena. Aunque en un nivel elemental, parece como si la órbita de la luna sobre su baricentro es circular, su realidad elíptica. Así que la distancia entre los centros de la tierra y la luna no es constante, por lo que la cadena se rompe bajo la tremenda tensión desarrollado en él.

Answer 3

Nada iba a cambiar en todos los ...de la Tierra y la luna ya están atados por la fuerza de la gravedad. La naturaleza de la gravedad es esférico todo el esférico masas con casi uniforme distribución de la tierra y la luna) por lo que la única diferencia es el punto fijo en la tierra en la gravedad del caso es como el hilo conectado al regulador con control deslizante de huecos en una determinada latitud de todo. Sin embargo, la parte que falta es que requieren hilo para ser inextensible. Para el caso de considerar el movimiento de la estrella binaria sistemas donde la gravedad es lo suficientemente fuerte como para hacer que el virtual hilo inextensible.