AdS térmico y la transición de fase de Hawking Page

Question

Tengo algunas dificultades para entender el concepto de radiación térmica pura, tal como se describe en el artículo de Hawking y Page sobre la transición de fase Hawking-Page.

La solución AdS térmica de cuatro dimensiones (con constante cosmológica $\Lambda<0$ ) viene dada por

$ds^2=f(r)d\tau^2+\frac{1}{f(r)}dr^2+r^2d\Omega^2$ ,

con $f(r)=1+\frac{r^2}{L^2}$ , $L^2\equiv {-3/\Lambda}$ y el tiempo imaginario $\tau$ es periódica en la temperatura inversa $\beta$ . Aparentemente, esto describe la radiación térmica.

¿Cómo debo ver esta radiación térmica? ¿Consiste en un gas de gravitones, ya que la acción de Einstein-Hilbert no tiene más campos que el tensor métrico? ¿O consiste en otras partículas y debo añadir otros campos a la acción para describirlas?

Luego, en el artículo de Hawking y Page, se afirma que: " La contribución dominante a la trayectoria se espera que provenga de las métricas que están cerca de las soluciones clásicas de las ecuaciones de Einstein. El espacio anti-de Sitter periódicamente identificado es uno de ellos y lo tomamos como el cero de la acción y la energía. La integral de trayectoria sobre los campos de materia y las fluctuaciones métricas en el fondo anti-de Sitter puede considerarse como que da la contribución de la radiación térmica en el espacio anti-de Sitter a la función de partición Z. Para un campo conformemente invariante esto será: $\log Z= \frac{\pi^4}{90}g\frac{L^3}{\beta^3}$ . " Aquí $g$ es el número efectivo de estados de espín.

Dado que se afirma que el AdS térmico se toma como el cero de la acción y de la energía, hace esto significa que el $\frac{\pi^4}{90}g\frac{L^3}{\beta^3}$ viene de ¿correcciones del bucle? ¿Y de dónde viene la expresión?

A partir de la expresión anterior la energía libre $F_{AdS}$ de AdS térmico sigue. Más adelante en el documento, la temperatura $T_1$ a la que la energía libre $F_{BH}$ de la solución del agujero negro (estable) se vuelve negativa. Me parece que la transición de fase se produce cuando $F_{AdS}=F_{BH}$ . Pero en lugar de calcular la temperatura a la que esto ocurre, se afirma que para $T\gtrsim T_1$ la solución del agujero negro tendrá menor energía libre, por lo que será termodinámicamente favorable. Así que me parece que $F_{AdS}$ se descuida.

¿Por qué podemos descuidar $F_{AdS}$ ? ¿Hay algún parámetro en la expresión para $\log Z$ por encima de la cual es muy pequeña? (¿O es sólo $\hbar$ ?)

Se agradece cualquier ayuda, me conformaría con una respuesta aunque sea a una de las preguntas de las comillas.

Answer 1

Yo mismo estoy aprendiendo esto, pero para el primero, el estado térmico creo que sólo significa que si se lanza cualquier campo en el espacio-tiempo resultante, éste adquirirá inmediatamente la temperatura especificada. En el cálculo original de Hawking, muestra que esta radiación estará dominada por las partículas sin masa y de menor espín disponibles, que en nuestro universo son los fotones.

Para la segunda, creo que están hablando de añadir pequeñas fluctuaciones de campo sobre el fondo, donde la acción clásica evaluada sobre el fondo es 0. Así que deberían ser correcciones a nivel de árbol.

¿Alguien más?

Answer 2

Desde el notas mencionado en el comentario, la respuesta parece ser la siguiente. Uno tiene las condiciones de contorno en la métrica que como $r\to\infty$ la métrica debe obedecer $$ds^2 \to \frac{r^2}{L^2} dt^2 + \frac{L^2}{r^2} dr^2 + \text{angular part}$$ A partir de esto, se pueden encontrar tres soluciones. Dos corresponden a agujeros negros, uno con un horizonte pequeño y otro con un horizonte más grande, siendo este último siempre favorecido termodinámicamente sobre el primero. Sin embargo, también se encuentra la solución que has escrito. Si comparamos esto con el caso de Schwarzschild, donde $$f(r) = 1 + r^2/L^2 - M/r^2.$$ Tenga en cuenta que su solución escrita $f(r) = 1 + r^2/L^2 $ la "nueva solución", no tiene masa, es decir, $M=0$ . Tampoco tiene ninguna singularidad, es decir, en ninguna parte está $f(r)=0$ . Sin embargo, sigue teniendo una temperatura, que en este caso resulta ser un parámetro libre. Al trazar las energías libres en función de la temperatura, se observa que esta solución es termodinámicamente favorable, es decir, minimiza la energía libre, a bajas temperaturas.

Teniendo en cuenta todas estas propiedades, el término radiación térmica parece apropiado.