Supongamos que tenemos la función de $f(x)= x^2 $. Esta función asocia los números reales con números reales ( $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$). Ahora, lo que me confundo a veces es cuál es exactamente la función de. A veces los libros de texto se compara con funciones de una máquina que tiene la materia prima / insumos (en este caso los números reales) y, a continuación, los procesos en una salida (que puede ser cualquier número en el codominio). Así, lo que me confunde es: la función es el operador (en este ejemplo, elevar a una potencia) o el concepto general de 'transformar' de un número? Como, si utilizamos otro ejemplo $f(x)= x + 2 $, es la función de un operador (la suma), un proceso que transforma número o algo más general y el operador es parte de la función, sólo una asociación de los números en el dominio para el codominio?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Su confusión es más que justificado, e históricamente exacta, incluso!
Histórico Preludio
Para un poco de contexto, voy a citar algunos fragmentos de Remmert del libro fantástico, la Teoría de Funciones Complejas.
La palabra "función" se produce en 1692 con Leibniz como una designación para ciertas magnitudes (como el de abscisas, los radios de curvatura, etc.) que dependen de los en los puntos de una curva, estos puntos el pensamiento de como cambiar o variar. Tan temprano como en el año 1698, en una carta a Leibniz, Joh. Bernoulli habló de "[...] la magnitud que se construido a partir de una variable y cualquier constantes en absoluto [...]"
y Euler
[...] llama a cualquier expresión analítica, que involucran una variable y constantes, una función.
Así, la matemática de la palabra "función" tiene sus raíces en este tipo de cosas - muy bien, continua (bastante a menudo, suave , incluso!) funciones dadas a nosotros por la evaluación de niza expresiones algebraicas en ciertos insumos; la función "máquina" concepto que conocemos y amamos.
Todavía obtención de información a partir de Remmert del libro, nos enteramos de que Dirichlet (casi 150 años más tarde, alrededor de la década de 1830) empuja los límites, la definición de una función $f(x)$
[...] igual a una cierta constante $c$ cada vez que la variable $x$ toma un valor racional y es igual a otro constante $d$ cuando esta variable es irracional [...]"
y, finalmente, yendo tan lejos como para considerar funciones en un muy moderno, diciendo:
[...] de hecho, uno no necesita ni siquiera de pensar en la dependencia, como lo dio explícito de las operaciones matemáticas."
Mi punto aquí es que es muy natural para ver las funciones en el"$x$, y de la plaza" o "agregar $2$ $x$" tipo de camino, y que era un viaje muy largo para empezar a pensar en otras funciones como simples asociaciones (con cierta facilidad-cumplido propiedades) entre los objetos en dos sets.
La interpretación moderna es el hecho de que una función $f\colon X \to Y$ es simplemente un conjunto de pares ordenados $\{(x, y): x \in X, y \in Y\}$ en el que cada elemento de a $X$ aparece como una "primera coordenada" exactamente una vez en el conjunto de pares ordenados.
Por supuesto, si usted no tiene una norma como \begin{align*}f\colon X &\to Y \\ x&\mapsto f(x) = x^2\end{align*}
hay un gran beneficio para la visualización de la función de $f$ como una especie de máquina que convierte la entrada de $x$'s en la salida $x^2$'s! El punto de vista moderno, simplemente dice que esto no es necesariamente cierto para todas las funciones (al menos, no es necesario para que una función se resume así ordenadamente con una fórmula simple), y que es la asociación de cada una de las $x$ con su $x^2$, o el conjunto de pares ordenados $\{(x, x^2): x \in \Bbb R\}$ que es realmente el cuadrado de la función de $f\colon \Bbb R \to \Bbb R$.
Yo personalmente sólo pensar de esta manera cuando es estrictamente necesario ser pedante y bastante como el de la "transformación" de aspecto; que las funciones son los "protagonistas" de las matemáticas del mundo.
Formalmente, la función se define como el conjunto de ordenado de pares de números que corresponda (es decir, se define como el conjunto de puntos en la gráfica). Informalmente, en matemáticas elementales, se ve intuitivamente como una máquina que transforma, y esto por supuesto es inherentemente vago.
La definición formal de decir que una función $f:A\rightarrow B$ es un subconjunto de a $A\times B$ que contienen sólo un par de $(x,y)$ cualquier $x \in A$.
Para $A=B=\mathbb{R}$ el conjunto de todos estos subconjuntos es incontable, así que "sospecha" de que no todas las funciones se pueden expresar como máquinas que transforman una entrada en una salida, ya que el número de esta máquina es en la mayoría de los contables y esta sospecha convertido en una exacta declaración de la introducción de una definición de funciones computables.
Para nuestro propósito, esto significa que el concepto de función es algo más que algunas de las reglas de operación dada para calcular un número real a partir de otro. Hay función que puede ser expresada de tal manera, y son las funciones que utilizamos normalmente, pero estos son sólo una contables subconjunto de todas las posibles funciones.
La función es el concepto general de transformación de números. No confundir con funciones tales como $(+)$ y $(*)$ son también funciona con dominios y rango. $(+):\mathbb{R}\times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ and $(*):\mathbb{R}\times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$. Y es que normalmente escribimos estas funciones infix argumentos entre significado en lugar de antes.
Según el primer volumen de Bourbaki de Elementos de matemáticas - Teoría de grupos - una función es una triple $(A, B, G)$, donde $A$ y $B$ son dos conjuntos no vacíos y $G$ es un subconjunto de $A \times B$ tal que para todos los $x \in A$ allí existe $y \in B$ tal que $(x, y) \in G$. $A$ se llama dominio, conjunto de destino $B$ y $G$ gráfica de la función. Creo que la fuerza de esta definición radica en el hecho de que no confunda una función para su gráfico.
