¿Lo que, precisamente, es el espacio de chorros de un paquete del vector en un esquema?

Question

Disculpas de antemano si esta pregunta es muy básica. Deje $X$ ser un esquema. Uno define el $n$-th jet espacio de $X$ a ser el esquema que representa el functor $$ Un\mapsto X(A[t]/t^{n+1}) . $$ Es bien sabido que este functor es representado por un esquema de $J^n X$. Hay una serie de notas cortas demostrando la existencia de $J^n X$, propiedades básicas, ....

Mi entendimiento es que si $\mathscr{E}$ es un local libre de $\mathscr{O}$-módulo de $X$, entonces para cada a $n$ no es un porcentaje ($\mathscr{O}$- módulo de $J^n\mathscr{E}$ "$n$- jets en $\mathscr{E}$." Esto se menciona en muchos lugares, pero todavía tengo que correr a través de una buena functorial definición, ni mucho menos pruebas de las propiedades básicas.

Hay una buena referencia que define cuidadosamente $J^n\mathscr{E}$ y demuestra sus propiedades básicas?

Idealmente, estoy interesado en las referencias que tratan la existencia de la máxima generalidad (por ejemplo, arbitraria coherentes $\mathscr{O}$-módulo en cualquier esquema de $X$).

Answer 1

Dos buenas referencias [EGA IV₄, el 16,7-8] y [SGA 3₁, VII_UN.1]. Deje $f:X\to S$ ser una de morfismos de esquemas. Deje $\mathscr I_{X/S}\subset \mathscr O_{X\times_S X}$ ser el ideal de la definición de la diagonal, y deje $X^{(n)}\subset X\times_S X$ ser cerrada subscheme corta por $\mathscr I_{X/S}^{n+1}$. Hay morfismos $p_i^{(n)}:X^{(n)}\to X$ procedente de las dos proyecciones de $p_1,p_2:X\times_S X\to X$. Para un $\mathscr O_X$-módulo de $\mathscr F$, poner $$ \mathrm{jet}^n\mathscr F = p_{1\ast}^{(n)} p_2^{(n)\ast} \mathscr F . $$ A continuación, $\mathrm{jet}^n\mathscr F$ es cuasi coherente (resp. coherente) si $\mathscr F$ es. Por otra parte, la natural mapa de $\mathrm d^n:\mathscr F\to \mathrm{jet}^n\mathscr F$ induce un isomorfismo $$ \mathrm{Diff}_{X/S}^n(\mathscr F,\mathscr G)=\hom_{\mathscr O_X}(\mathrm{jet}^n\mathscr F,\mathscr G) . $$ Aquí, $\mathrm{Diff}^n_{X/S}(\mathscr F,\mathscr G)$ se define inductivamente por $\mathrm{Diff}_{X/S}^0(\mathscr F,\mathscr G)=\hom_{\mathscr O_X}(\mathscr F,\mathscr G)$, y por $\mathrm{DIff}_{X/S}^{n+1}(\mathscr F,\mathscr G)$ la sub-$\mathscr O_X$-módulo de $\hom_{\mathscr O_S}(\mathscr F,\mathscr G)$ consta de los $D$ tal que para todos los $a\in \Gamma(\mathscr O_X)$, el mapa de $x\mapsto D(a x)-aD(x)$ es un elemento de $\mathrm{Diff}_{X/S}^n(\mathscr F,\mathscr G)$.

En suma:

Si se define "operador diferencial de orden $\leqslant n$ en la forma obvia, a continuación,$\mathrm{Diff}_{X/S}^{\leqslant n}(\mathscr F,\mathscr G)=\hom_{\mathscr O_X}(\mathrm{jet}^n\mathscr F,\mathscr G)$.