Estoy un poco confundido por esta pregunta, pero quiero compartir mi (limitada) de la perspectiva. Casi todo lo que sé es incluido en Hartshorne de la Geometría Algebraica. Voy a escribir más tarde por qué esto es un poco limitado.
La importancia de flasque poleas en el cálculo de la gavilla cohomology se deriva de la siguiente hecho que puede ser probado por la mano
Deje $0 \rightarrow \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C} \rightarrow 0$ ser una breve secuencia exacta de haces de abelian grupos en el espacio X. Si $\mathcal{A}$ es flasque, a continuación, la secuencia $0 \rightarrow \Gamma(\mathcal{A}) \rightarrow \Gamma(\mathcal{B}) \rightarrow \Gamma(\mathcal{C}) \rightarrow 0$ también es exacta.
Esta es una propiedad muy especial de flasque poleas y a partir de esta propiedad si se sigue que cada flasque gavilla $\mathcal{F}$ es cíclico, es decir,. $H^{p}(X, \mathcal{F}) = 0$ todos los $p > 0$. Esto es importante porque este es un paso clave en el establecimiento de la isomorfismo entre Cech y derivados functor cohomology, desde inyectiva poleas están flasque, demasiado.
Tenga en cuenta que una prueba - y esto es crucial - que todos los flasque poleas son acíclicos, no necesariamente cuasi coherente.
Por eso creo que tu pregunta tiene una respuesta negativa. Si te refieres al functor $Hom$ o $\mathcal{H}om$ (la gavilla de la versión), no para ser exactos ya en el nivel de módulo. No puedo ver cómo flasqueness podría salvar algo, pero me encantaría estar equivocado! Sin embargo, si tu pregunta es si se puede utilizar flasque, cuasi coherente de las poleas, que soy incapaz de venir con cualquier contraejemplos - porque mi único ejemplo conocido de una gavilla es $\widetilde{I}$ $I$ un inyectiva $A$ a través de una neotherian anillo de $A$.
Si tu pregunta es acerca de arbitrario flasque haces (porque uno puede utilizar arbitraria gavillas de abelian grupos para calcular cohomology), entonces no son triviales contraejemplos. Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $2$ y considerar los siguientes flasque resoluciones de $k$ on Spec(k):
$C_{1} ^{\bullet}: (0 \rightarrow k) \rightarrow k \rightarrow 0 \rightarrow \mathbb{Z}
\rightarrow _{*2} \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \rightarrow 0 \rightarrow \ldots$
$C_{2} ^{\bullet}: (0 \rightarrow k) \rightarrow k \rightarrow 0 \rightarrow \ldots$
Desde $Hom(k, C_{1}^{\bullet})$ $Hom(k, C_{2}^{\bullet})$ tienen diferentes cohomology, que no puede posiblemente ser ambos iguales a $RHom(k, k)$. Creo que no es demasiado duro para fortalecer este ejemplo a uno en el que todas las poleas de los involucrados son gavillas de $\mathcal{O}_{X}$-módulos ($\mathbb{Z}$ no es un $k$-módulo), pero - como ya dije - no sé cómo cambiarlo para que todas las poleas de los involucrados son cuasi coherente.
