Si tengo una palanca, pero sólo puedo ver hasta la bisagra y no la otra mitad, ¿puedo saber si la otra mitad mide 1 m de largo con un peso de 3 kg, o 3 m de largo con un peso de 1 kg?
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Paulo
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Sí, puede. El momento de inercia de la palanca será diferente en cada una de las dos situaciones. Supongamos que la palanca no tiene masa y el peso es un punto de masa. En la primera situación, $I = mr^2 = (3)(1)^2 = 3 \text { N} \cdot \text {m}$ . En la segunda situación, $I = mr^2 = (1)(3)^2 = 9 \text { N} \cdot \text {m}$ .
Debido a que el momento de inercia es mayor en la segunda configuración, el brazo de la palanca será más lento para responder a los pares aplicados (es decir, ya que $ \tau = I \alpha $ un mayor momento de inercia corresponde a una menor aceleración angular para un par determinado). Para determinar prácticamente la diferencia, se puede colocar un peso pesado en un extremo de la palanca y utilizar un cronómetro para registrar el tiempo que la palanca tarda en alcanzar un determinado desplazamiento angular. El que tiene un tiempo menor se configura con una masa de 3 kg a 1 m de distancia, y el que tiene un tiempo mayor es una masa de 1 kg a 3 m de distancia.
JRT
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97
Sólo por diversión, déjeme sugerirle otra forma poco práctica de notar la diferencia.
El diagrama muestra el lado más alejado de la palanca. Tiene una longitud $L$ que no conoces y hay una masa $m$ en el extremo que no conoces. El par de torsión es igual a $Fd = FL \cos\theta $ y la fuerza es la fuerza gravitacional $F = GMm/r^2$ donde $M$ es la masa de la Tierra y $r$ es el radio de la Tierra. Así que..:
$$ T = \frac {GM mL \cos\theta }{r^2} $$
Sólo que esto no es del todo correcto porque la distancia desde el centro de la Tierra no es $r$ sino más bien $r + L \sin\theta $ . Así que un cálculo más exacto del par de torsión es:
$$ T' = \frac {GM mL \cos\theta }{(r + L \sin\theta )^2} $$
La ecuación para el par de torsión ignorando el cambio de la gravedad, $T$ sólo contiene el producto $mL$ así que no puedes decir la diferencia entre $m = 1, L = 3$ y $m = 3, L = 1$ ya que en ambos casos el producto $mL = 3$ . Sin embargo, la segunda ecuación que incluye el cambio en la gravedad tiene una dependencia separada de sólo $L$ en el denominador, para que puedas notar la diferencia. De hecho, si graficas la diferencia entre las ecuaciones, $T - T'$ que tienes:
La diferencia es muy pequeña, sólo alrededor de $10^{-5}$ Nm, pero está ahí. Así que midiendo con mucha precisión el par en función del ángulo se puede decir la diferencia entre los dos casos.
