Radio de convergencia de una serie de potencias.

Question

Considere la serie de potencias$\sum_{n \ge 1} a_n z^n$, donde$a_n$ es el número de divisores de$n^{50}$. ¿Cuál es el radio de convergencia?

Mi intento

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Asi que $a_n < n^{50}$.

Así, el radio de convergencia es 1.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Para cada$n$, el número de divisores de$n^{50}$ está entre$1$ y$n^{50}$. Determine los radios de convergencia de la serie$\sum\limits_nz^n$ y$\sum\limits_nn^{50}z^n$. Concluir.

Se ve que la prueba no usa ni el número de divisores de$n^{50}$, ni su crecimiento exacto, ni ningún otro refinamiento teórico de número.

Answer 2

Sólo está demostrando que el radio de convergencia es$≥1$.

Cuando observa que para$n=2^k$ el número de divisores de$n$ es$2^{k-1}$, por lo que el número de divisores de$n^{50} = 2^{50k}$ es$2^{50k-1}$ La falta de desigualdad.

Editar: la respuesta es incorrecta. $d(2^k) = k+1$ Por lo que no prueba nada. En realidad, la tasa de crecimiento de$d(n)$ es muy baja, menor que cualquier potencia positiva de$n$ (aún mayor que$\log n$)