Se reparten cinco cartas de una baraja estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que tengas como máximo tres reyes en la mano?

Question

Se reparten cinco cartas de una baraja estándar y barajada. Tenga en cuenta que una baraja estándar tiene 52 cartas y que cuatro de ellas son reyes. ¿Cuál es la probabilidad de que tengas como máximo tres reyes en la mano?

Sé que la respuesta es $\frac{54144}{54145}$ de la clave de respuestas, y sé que el espacio de la muestra es ${^{52}\mathrm C_5}$ . Lo que no entiendo es cómo encontrar el evento.

¿Sólo tengo que sumar la combinación para cada número de reyes ( ${^5\mathrm C_2} + {^5\mathrm C_3}$ )?

¿O tengo que multiplicar también para tener en cuenta las otras cartas de la mano de 5 cartas?

Answer 1

La probabilidad de que tenga como máximo 3 reyes es la probabilidad de que tengas menos de 4 .

$$\mathsf P(K\leq 3) = 1 -\mathsf P(K=4)$$

La probabilidad de que tenga exactamente los cuatro reyes es el recuento de formas de seleccionar 4 reyes y otra carta dividido por el recuento de formas de seleccionar 5 cartas cualesquiera.

$$\mathsf P(K=4)~=~\dfrac{{^{4}\mathrm C_{4}}\cdot{^{(52-4)}\mathrm C_{(5-4)}}}{^{52}\mathrm C_5}$$

Ponerlo todo junto.

$$\mathsf P(K\leq 3) ~=~ 1 -\dfrac{{^{4}\mathrm C_{4}}\cdot{^{(52-4)}\mathrm C_{(5-4)}}}{^{52}\mathrm C_5}$$

Answer 2

El número de formas de seleccionar $5$ tarjetas que tienen $0,1,2,3$ son los reyes: $ \binom{48}{5}, \binom{4}{1}\binom{48}{4}, \binom{4}{2}\binom{48}{3}, \binom{4}{3}\binom{48}{2}$ respectivamente. Por lo tanto, la probabilidad de como máximo $3$ reyes es: $Pr(x \leq 3) =\dfrac{\binom{48}{5}+\binom{4}{1}\binom{48}{4}+\binom{4}{2}\binom{48}{3}+\binom{4}{3}\binom{48}{2}}{\binom{52}{5}}$

Answer 3

Como mucho 3 reyes es lo mismo que no 4 reyes.

$P(4$ reyes) $ = 48 / {52\choose 5} = \frac{1}{54145}$

Answer 4

Otra forma: hay 52 cartas en la baraja, de las cuales 4 son reyes. La probabilidad de que la primera carta sea un rey es 4/52= 1/13. Quedan entonces 51 cartas, de las cuales 3 son reyes. La probabilidad de que la segunda carta sea un rey es de 3/51= 1/17. Quedan entonces 50 cartas, 2 de ellas reyes. La probabilidad de que la tercera carta sea un rey es 2/50= 1/25. Quedan entonces 49 cartas, de las cuales 1 es un rey. La probabilidad de que la cuarta carta sea un rey es de 1/49. Ya no hay reyes en la baraja, por lo que la probabilidad de que la quinta carta sea no un rey es 1.

La probabilidad de obtener "cuatro reyes y un no rey" en ese orden es (1/13)(1/17)(1/25)(1/49). Hay 5 maneras de ordenar "cuatro reyes y un no rey" (el no rey está en cualquiera de los 5 lugares) por lo que la probabilidad de "cuatro reyes y un no rey" en cualquier orden es 5(1/13)(1/17)(1/25)(1/49).

Finalmente, la probabilidad de obtener "como máximo tres reyes en una mano de cinco cartas" es 1- 5(1/13)(1/17)(1/25)(1/49).

Answer 5

Ya que necesita encontrar la probabilidad $P(\leq 3~\text{kings})$ , puede encontrar $P(>3~\text{kings})$ y restarlo de $1$ .

$P(>3~\text{kings}) \iff P(4~\text{kings})$ que es $48/52C5 = 1/54145$

Aquí, tomamos $48$ , ya que fuera de $5$ cuatro cartas son reyes, y la quinta puede ser cualquiera de las restantes $48$ tarjetas.

Así que su respuesta final es $1 - (1/54145)$ que es $54144/54145$ .