¿Cómo obtener la forma asintótica de esta integral oscilante?

Question

Así que la integral es así: $$\int_1^\infty \frac{\cos xt}{(x^2-1)\left[\left(\ln\left|\frac{1-x}{1+x}\right|\right)^2+\pi^2\right]}\mathrm{d}x$$

La cuestión es cómo obtener la forma asintótica de esta integral cuando $t$ es muy grande.

El integrando es una función oscilante decreciente:

El denominador del integrando es cero cuando $x\to 1$ .

Sinceramente, no sé si esta integral convergerá, pues me recuerda a la integral

$$\int_0^\infty \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$$ que es $\infty$ .

Espero que sea una integral con sentido y se pueda obtener la asintótica.

Answer 1

Esto es más bien un comentario, pero imitando el procedimiento en esta respuesta cerca del punto final $x=1$ podemos demostrar que

$$ \int_1^\infty \frac{\cos xt}{(x^2-1)\left[\left(\ln\frac{x-1}{x+1}\right)^2+\pi^2\right]}\,dx \approx \operatorname{Re} \left\{ \frac{e^{it}}{2} \int_0^\infty \frac{e^{-yt}}{y \left[\left(\log \frac{iy}{2}\right)^2 + \pi^2\right]}\,dy\right\} $$

a primer orden como $t \to \infty$ . Numéricamente coinciden muy bien; a continuación se muestra un gráfico de la integral de la izquierda en rojo y la aproximación en azul.

Esta imagen fue creada con el siguiente código en Mathematica. El programa se queja de las singularidades en las integradas pero al final probablemente las maneja bien.

pointSpacing = 1/5; (* decrease this for a higher resolution plot *)
Show[
 ListPlot[
  Table[{t, 
    Re[E^(I t)/2 NIntegrate[
        E^(-y t)/(y (Log[I y/2]^2 + Pi^2)), {y, 0, \[Infinity]}] // 
      Quiet]},
   {t, 30, 50, pointSpacing}],
  Joined -> True, PlotRange -> All],
 ListPlot[
  Table[{t, 
    NIntegrate[
      Cos[x t]/((x^2 - 1) (Log[(x - 1)/(x + 1)]^2 + Pi^2)), {x, 
       1, \[Infinity]}, MaxRecursion -> 20] // Quiet},
   {t, 30, 50, pointSpacing}],
  PlotStyle -> Red, Joined -> True]
 ]

Debido a la lentitud $y \to 0$ singularidad logarítmica en el denominador perdemos mucha precisión numérica si sustituimos el denominador por una aproximación más sencilla. En primer orden, el denominador es

$$ \sim \frac{1}{y(\log y)^2} $$

cerca de $y=0$ por lo que si sustituimos el denominador por éste en el integrando (y sustituimos el intervalo de integración $(0,\infty)$ con $(0,c)$ para algunos $0 < c < 1$ ) entonces deberíamos obtener el comportamiento correcto de orden principal (pero, de nuevo, será una aproximación peor numéricamente). Entonces, como la integral es real, podemos utilizar $\operatorname{Re} e^{it} = \cos t$ para obtener la aproximación

$$ \int_1^\infty \frac{\cos xt}{(x^2-1)\left[\left(\ln\frac{x-1}{x+1}\right)^2+\pi^2\right]}\,dx \approx \frac{\cos t}{2} \int_0^c \frac{e^{-yt}}{y (\log y)^2}\,dy $$

como $t \to \infty$ . Ahora podemos utilizar un resultado de Erdélyi (véase esta respuesta ) para concluir que el comportamiento de orden principal debe ser

$$ \int_1^\infty \frac{\cos xt}{(x^2-1)\left[\left(\ln\frac{x-1}{x+1}\right)^2+\pi^2\right]}\,dx \approx \frac{\cos t}{2\log t} $$

como $t \to \infty$ . Es importante señalar aquí que, al ignorar las contribuciones complejas de la integral de aproximación, ya no aproximamos con precisión la fase de la integral. Si se calculan las correcciones de orden superior a esta aproximación, los términos de la forma $o(1/\log t)\sin t$ aparecerá compensar esto.

A continuación se muestra un gráfico de este $\cos t/2\log t$ aproximación en azul frente a la integral original en rojo. Como ya se ha dicho, es una aproximación peor que la anterior, pero al menos capta la disminución logarítmica correcta de la amplitud de la oscilación.

Esta imagen fue creada con el siguiente código.

pointSpacing = 1/2; (*decrease this for a higher res plot*)
Show[
 Plot[Cos[t]/(2 Log[t]),
  {t, 570, 600},
  PlotRange -> All],
 ListPlot[
  Table[{t, 
    NIntegrate[
      Cos[x t]/((x^2 - 1) (Log[(x - 1)/(x + 1)]^2 + Pi^2)), {x, 
       1, \[Infinity]}, MaxRecursion -> 20] // Quiet},
   {t, 570, 600, pointSpacing}],
  PlotStyle -> Red, Joined -> True]
 ]

Answer 2

Esto no es una respuesta completa al problema, sino que sólo se refiere a la cuestión de si la integral converge.

Con cambio de variable $x=1+y$ : $$\int_1^\infty \frac{\cos xt}{(x^2-1)\left[\left(\ln\left|\frac{1-x}{1+x}\right|\right)^2+\pi^2\right]}\mathrm{d}x = \int_0^\infty \frac{\cos (1+y)t}{y(1+2y)\left[\left(\ln\left|\frac{y}{2+y}\right|\right)^2+\pi^2\right]}\mathrm{d}y $$ En $y>0$ cerca de $0$ : $$ \frac{\cos (1+y)t}{y(1+2y)\left[\left(\ln\left|\frac{y}{2+y}\right|\right)^2+\pi^2\right]} \sim \frac{\cos(t)}{y\left(\ln(y) \right)^2}$$ $\int \frac{1}{y\left(\ln(y) \right)^2}dy = -\frac{1}{\ln(y)}$ que tiende a $0$ cuando $y$ tiende a $0$ . Por lo tanto, la integral es convergente para el límite inferior.

$\int_1^\infty \frac{\cos xt}{(x^2-1)\left[\left(\ln\left|\frac{1-x}{1+x}\right|\right)^2+\pi^2\right]}\mathrm{d}x$ obviamente es convergente en $x$ tendiendo al infinito.

Por lo tanto, la respuesta es : La integral es convergente.