¿Cómo se empieza a escribir una prueba?

Question

Estoy en mi primera clase basada en pruebas y estoy teniendo muchos problemas para escribir pruebas. Quiero decir que sé que no va a ser algo natural y que llevará tiempo, pero en serio, ¿cómo se empieza a escribir una prueba y a formular un plan de juego? Por ejemplo, estoy tratando de escribir una solución para este problema, pero parece que no puedo averiguar por dónde empezar.

Dado $y \in \mathbb R, n\in\mathbb N$ y $\epsilon \gt 0$ , demuestre que para algunos $\delta \gt 0$ , si $u\in \mathbb R$ y $|u-y|\lt \delta$ entonces $|u^n-y^n|\lt \epsilon$ .

¿Alguna sugerencia sobre cómo empezar o incluso cuáles son algunas de las primeras cosas en las que debería pensar cuando me enfrente a un problema de "Muestra que..."? Realmente estoy buscando una combinación de dónde empezar para esto y algunas pruebas de escritura en general.

Answer 1

He aquí algunos pasos que considero útiles a la hora de escribir pruebas, no necesariamente en orden.

1. Si el enunciado del problema utiliza términos con los que no te sientes del todo cómodo, tradúcelo a un lenguaje más sencillo, o incluso parafrasea el problema en inglés normal. Por ejemplo, un enunciado sobre la linealidad de la derivada podría acortarse a "la suma de las derivadas es la derivada de la suma".

2. Determine las hipótesis con las que tiene que trabajar. Una de las peores cosas que puedes hacer es atacar el problema sólo desde los primeros principios. Si tiene hipótesis concretas, ¡empiece por ellas! Es muy posible que tu conclusión sea falsa sin esas hipótesis.

3. Averigüe qué es exactamente lo que se le pide que muestre. Si no tienes una dirección clara, es posible que te encuentres corriendo en círculos.

4. Consulta el capítulo o los capítulos correspondientes de tu libro de texto y comprueba qué teoremas se relacionan con las hipótesis que se te plantean. No puedo insistir lo suficiente en esto. Si tu hipótesis es que " $f$ es continua en un conjunto compacto", mira cada lema y teorema en el capítulo que comienza: "Sea $f$ sea continua en un conjunto compacto...", aunque sean necesarias más suposiciones.

5. A menudo, si te dan muchas hipótesis, intenta averiguar cómo funcionan juntas. Una función continua sobre un conjunto compacto es mejor que una función continua y un conjunto compacto (como objetos separados).

6. Pregúntese: "¿Hay alguna afirmación o resultado que me ayude a llegar a mi conclusión? ¿Hay algo que me ayudaría si fuera cierto?". Así es como se crean los lemas y las proposiciones.

7. Lo más importante: Una vez que hayas traducido el problema a un contexto que entiendas, pregúntate "por qué debe ¿Esto es cierto?" Puede ser útil hacer un dibujo o considerar algunos ejemplos explícitos. En mi experiencia, cuando se trata de escribir pruebas, especialmente en análisis, si no sabes por qué algo debe sea cierto, te costará mucho intentar demostrarlo. Cuando puedes convencerte de por qué algo debe ser cierto, lo único que queda es traducir esa intuición en matemáticas rigurosas. Aunque eso requiere cierta habilidad técnica, es algo que se adquiere con el tiempo: a la larga, la respuesta intuitiva suele ser la parte más importante.

Answer 2

El sexto punto de Isaac es especialmente aplicable cuando tienes razones para esperar que la prueba sea relativamente sencilla $-$ no necesariamente fácil, pero que no requiere una enorme perspicacia o astucia $-$ como en este caso. Tenga en cuenta que que me ayude a llegar a mi conclusión puede (y a menudo debe) interpretarse de forma bastante amplia: podría decir simplemente que proporcione alguna conexión clara entre lo que me dan y lo que quiero obtener de ello .

En este caso estás tratando de imponer una condición a $|u-y|$ que afecta a $|u^n-y^n|$ qué relación(es) conoce conectando $u-y$ y $u^n-y^n$ ? Sólo se me ocurre una: la factorización

$$u^n-y^n=(u-y)\left(u^{n-1}+u^{n-2}y+\ldots+u^{n-1-k}y^k+\ldots+uy^{n-2}+y^{n-1}\right)$$

o, de forma más compacta, $$u^n-y^n=(u-y)\sum_{k=0}^{n-1}u^{n-1-k}y^k\;.\tag{1}$$

Quieres saber lo pequeño que tienes que hacer $|u-y|$ para conseguir $|u^n-y^n|$ menos que algún positivo $\epsilon$ . Si $(1)$ tenía la forma $u^n-y^n=(u-y)M$ para alguna constante $M$ sería una tarea fácil, pero la suma en $(1)$ obviamente no es una constante. ¿Y si estuviera acotada? ¿Y si pudieras encontrar una $M$ tal que

$$\left|\sum_{k=0}^{n-1}u^{n-1-k}y^k\right|\le M\;,$$

al menos para todos los valores de $y$ lo suficientemente cerca de $u$ ?

Primer spoiler:

Entonces podría utilizar $(1)$ para decir que $|u^n-y^n|\le M|u-y|$ al menos para todos $y$ lo suficientemente cerca de $u$ y tomando $\delta=\dfrac{\epsilon}M$ sería el truco. Y ahora has reducido tu problema a averiguar cómo atar $\left|\sum_{k=0}^{n-1}u^{n-1-k}y^k\right|$ . No se puede hacer esto en general, pero tal vez se pueda hacer si no se deja $u$ Obtenga también lejos de $y$ .

Segundo spoiler:

¿Qué pasa si decides que no importa lo que requieras de $\delta$ , se asegurará de que $\delta\le 1$ para que $|u|\le|y|+1$ ? ¿Puede encontrar ahora un límite superior para $\left|\sum_{k=0}^{n-1}u^{n-1-k}y^k\right|$ en términos de $|y|+1$ ¿digamos? Eso serviría, porque estás viendo un $y$ .

Answer 3

Para añadir a la sugerencia de Gerry, recuerdo haber escuchado un comentario del compositor Ravel: dijo "Copia. Si tienes algo de originalidad, entonces esto puede salir al copiar. Si no, no importa". Yo añadiría que la originalidad puede salir sólo después de haber copiado varias, o muchas veces. También he oído decir que Newton era un copiador empedernido.

Así que, en lugar de limitarse a leer las pruebas, le sugiero que copia pruebas a mano, y esto puede hacer que poco a poco le cojas el ritmo. Además, puedes preguntar: "¿Cuál es la idea clave?".

En la construcción de pruebas, también hay que aprender a trabajar desde ambos extremos, hacia adelante desde los supuestos, y hacia atrás desde la conclusión, ¡y esperar que se encuentren! Las pruebas rara vez se construyen de forma lineal, hay que saber hacia dónde se va.

En la enseñanza del análisis, también utilicé el tipo de ejercicio "de relleno". Tomaba una prueba complicada, como que el producto de límites es el límite del producto, la escribía, luego dejaba en blanco partes y pedía a los alumnos que rellenaran los espacios en blanco, dando muchas pistas de las partes que todavía estaban. Así, el conjunto estructura de la prueba está ahí, pero los alumnos tienen que utilizar las pistas de lo que hay para completar los detalles. Una ventaja es que las soluciones son fáciles de marcar.

El método de enseñanza en el que se basa se conoce como "encadenamiento inverso" o "encadenamiento hacia atrás", véase la wikipedia, por ejemplo. En otras palabras, la primera tarea que se da es completar algo fácil. A continuación, lo haces gradualmente más difícil, o empiezas en una fase anterior. El método es una técnica de adiestramiento estándar, por ejemplo para entrenar a los animales, o para enseñar a un niño a ponerse la ropa. El niño aprende del éxito, así que hay que hacer que tenga éxito. El aprendizaje de las matemáticas a cualquier nivel tiene algo del mismo carácter. También es como se aprende a hacer muchos rompecabezas como el Sudoku, o los crucigramas, se empieza por los fáciles.

Answer 4

Lea el excelente libro de Pólya "How to prove it" (Cómo probarlo), que está lleno de consejos sobre cómo abordar el tema de las pruebas. El libro de Hammack "El libro de las pruebas" es una discusión detallada de las diferentes formas de probar las cosas.

En tu caso (como en el de muchos otros, muy comúnmente cada vez que te dedicas a la $\epsilon$ -- $\delta$ baile) ayuda a empezar por el final y buscar cómo llegar al principio desde allí. Una vez que se tiene eso, volver sobre los pasos suele ser fácil.

Answer 5

Comienza a escribir una cadena de estimaciones consecutivas sobre $|u^n - y^n|<\dots$ (utilizando $|u-y|<\delta$ en algún lugar) y encontrar la condición en $\delta$ para que al final llegue hasta $\ldots<\epsilon$ .