El conjunto Cantor no es fuerte medida cero

Question

$A \subseteq \mathbb R$ Es una medida fuerte cero si se le da cualquier secuencia$( \epsilon_n )_{n \in \mathbb N}$ de reales positivos hay una secuencia$( I_n )_{n \in \mathbb N}$ de intervalos abiertos tal que$I_n$ tiene longitud como máximo$\epsilon_n$ Cada$n$, y$A \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb N} I_n$.

He leído que el conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo que no es una fuerte medida cero.

¿Puede alguien explicar por qué o dirigirme a una referencia que contiene una prueba?

Answer 1

Lema. Si $X \subseteq [0,1]$ es una fuerte medida de ajuste a cero, y $f : [0,1] \to [0,1]$ es continuo, $f[X]$ también es fuerte medida cero.

prueba. Tenga en cuenta que $f$ es uniformemente continua, entonces para cada a $\varepsilon > 0$ no es un porcentaje ($\delta ( \varepsilon ) > 0$ que si $I \subseteq [0,1]$ es un intervalo de longitud de $\leq \delta ( \varepsilon )$, $f[I]$ tiene una longitud de $\leq \varepsilon$. Dado un sequencce $\{ \varepsilon_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ de positivos reales, sabemos que podemos cubrir $X$ por una secuencia $\{ I_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ de los intervalos tales que $I_i$ tiene una longitud de $\leq \delta(\varepsilon_i)$. A continuación,$f[X] \subseteq \bigcup_{i \in \mathbb{N}} f[I_i]$.

Recordemos ahora que el Cantor de la función es continua, y la imagen del conjunto de Cantor en virtud de esta función es la unidad de intervalo de $[0,1]$, lo que claramente no es fuerte de medida cero (o incluso de medida de Lebesgue cero).

Answer 2

Para un enfoque más directo: Supongamos que $I_1 , I_2 , \ldots$ son intervalos abiertos en $\mathbb{R}$ tal que $I_n$ tiene una longitud de $3^{-n}$.

Tenga en cuenta que $I_1$ debe ser distinto de cualquiera de las $[ 0 , \frac 1 3 ]$ o $[ \frac 2 3 , 1 ]$ (o ambos, yo creo que si $I_1$ fue elegido especialmente mal). Nos deja la etiqueta de uno de estos intervalos disjuntos de$I_1$$A_1$.

Ahora $I_2$ debe ser distinto de al menos uno de los dos intervalos cerrados obtenidos a partir de la eliminación de abrir el tercio medio de la $A_1$: vamos a la etiqueta de uno de estos $A_2$.

Y seguimos así. Para cada una de las $n$ el intervalo abierto $I_{n+1}$ debe ser distinto de uno de los dos intervalos cerrados obtenidos a partir de la eliminación del tercio medio de la $A_n$, y lo de la etiqueta de uno de estos $A_{n+1}$.

Por tanto, tenemos una disminución de la secuencia $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots$ de vacío compacto de subconjuntos de a $\mathbb{R}$, por lo que sus intersetion debe ser no vacío. Está claro que cualquier punto de la intersección (en realidad, sólo puede haber uno) debe pertenecer al conjunto de Cantor, y no es de $\bigcup_{i=1}^\infty I_n$. Así, la secuencia de intervalos abiertos comenzamos con no cubrir el conjunto de Cantor.