Contraejemplo para el teorema de punto fijo

Question

Dar un ejemplo de un espacio métrico completo$(X,d)$ y una cartografía$T: X \rightarrow X$ que no tiene un punto fijo en X y satisface; ps

Pensé primero que esto era imposible por el teorema del punto fijo, pero luego calculé con la restricción final que debe ser posible de alguna manera. Sin embargo no he podido encontrar tal ejemplo. He intentado con$$ d(T(x),T(y)) < d(x,y)$ y algunos subconjuntos en su mayoría, y utiliza la métrica discreta, pero no puede encontrar un mapa para que esto funcione ...

Answer 1

== Toma el espacio$\,K:=[1,\infty)\,$ con la topología euclidiana heredada de$\,\Bbb R\,$, y observa que este es un espacio métrico completo. (Pista: es un espacio cerrado)

== Defina$\,f(x):=x+x^{-1}\,$ en el espacio anterior.

== Para$\,x,y\in K\,\,,\,x\neq y\,$, compruebe que

ps

== Finalmente, pruebe que$$|f(x)-f(y)|=|x-y|\left|1-\frac{1}{xy}\right|<|x-y|$ no tiene un punto fijo (sugerencia: supongamos que lo hace ...)

Answer 2

Trate de pensarlo gráficamente. Piense en una función creciente en$\{x\ge 0\}$ cuya gráfica está arriba y asintótica a$y=x$.

Answer 3

Intente$X = [0,\infty )$,$(X,d)$ es el espacio métrico completo, donde$d(x,y) = |x-y|$

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ps

Answer 4

$X=\mathbb R$,

$T(x)=\sqrt{1+x^2}$,

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