Problema del álgebra lineal

Question

Supongamos que hay muchas matrices que casi conmutan entre sí (lo que quiero decir es que no se conmutan entre sí, pero$A_i\in M_n(C)$ es muy pequeña). ¿Puedo cambiar ligeramente las matrices, por ejemplo,$i=1,2,3,\cdots,m$ con$||[A_i, A_j]||$ muy pequeñas, de forma que las nuevas matrices$A_i^\prime:=A_i+\delta_i$ conmutan entre sí?

Answer 1

Si una de estas matrices tiene distintos valores propios, asumir que se es $A_1$, entonces cualquier pequeño pertubation, $A_1+\delta_1$, tiene distintos valores propios también. Ahora, cualquier matriz que conmuta con una matriz con distintos autovalores debe ser un polinomio de esta matriz. Por lo $A_i+\delta_i=p(A_1+\delta_1)$, para algún polinomio $p\in\mathbb{C}[x]$.

Reclamo: $\dim(\text{span}\{A_1,\ldots,A_m\})\leq\dim(\text{span}\{A_1+\delta_1,\ldots,A_m+\delta_m\})$ si $\|\delta_i\|$ es muy pequeña para cada $i$.

Así que si $\dim(\text{span}\{A_1,\ldots,A_m\})>\dim(\{p(A_1+\delta_1), p\in\mathbb{C}[x]\})$ $\dim(\text{span}\{A_1+\delta_1,\ldots,A_m+\delta_m\})>\dim(\{p(A_1+\delta_1), p\in\mathbb{C}[x]\})$ y no es posible tener $\text{span}\{A_1+\delta_1,\ldots,A_m+\delta_m\}\subset \{p(A_1+\delta_1), p\in\mathbb{C}[x]\}$.

Por ejemplo: Por la Calley-Hamilton, $\dim(\{p(A_1+\delta_1), p\in\mathbb{C}[x]\})\leq n$. Si $\dim(\text{span}\{A_1,\ldots,A_m\})>n$ $A_1$ tiene distintos valores propios, a continuación, la respuesta a su pregunta es no.

La prueba de la Reclamación: Suponga $\dim(\text{span}\{A_1,\ldots,A_m\})=k$ y wlog asumen $A_1,A_2,\ldots,A_k$ son lineales independiente.

Considere la función continua $f:\{(z_1,\ldots,z_k),|z_1|+\ldots+|z_k|=1\}\rightarrow\mathbb{R}$, $f(z_1,\ldots,z_k)=\|z_1A_1+\ldots+z_kA_k\|$.

Ya que el dominio es compacto y $f(z_1,\ldots,z_k)>0$ existe $\epsilon>0$ tal que $f(z_1,\ldots,z_k)>\epsilon$.

Ahora, si $a_1(A_1+\delta_1)+\ldots+a_k(A_k+\delta_k)=0$$|a_1|+\ldots+|a_k|>0$$\epsilon<\frac{1}{|a_1|+\ldots+|a_k|}\|a_1A_1+\ldots+a_kA_k\|=\frac{1}{|a_1|+\ldots+|a_k|}\|a_1\delta_1+\ldots+a_k\delta_k\|\leq\max\{\|\delta_i\|, i=1,\ldots,k\}$.

Así que si $\max\{\|\delta_i\|, i=1,\ldots,k\}<\epsilon$ $A_1+\delta_1,\ldots,A_k+\delta_k$ l.yo. $\square$