Asignación de un entero a un complejo CW finito tal que después de retención.

Question

Para cada$n \in \mathbb{Z}$, ¿existe una función única$\varphi$ asignando un número entero a cada complejo CW finito, de modo que se mantenga la siguiente posición?

1. $\varphi(X) = \varphi(Y)$ Si$X$ y$Y$ son homeomorfos.
2. $\varphi(X) = \varphi(A) + \varphi(X/A)$ If$A$ es un subcompleto de$X$.
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Answer 1

Sí. Por supuesto, dicha función existe; deje $\varphi_n(X) = n\tilde{\chi}(X)$ donde $\tilde{\chi}$ es la reducción de la característica de Euler. Su propiedad 2 de la siguiente manera a partir de la reducción de la homología largo de la secuencia exacta.

Llamar a una función de su tipo $\varphi_n$.

1) $\varphi_n(A \vee B) = \varphi_n(A) + \varphi_n(B)$. Siempre se puede subdividir el CW estructuras en $A \vee B$, de modo que su cuña es un CW complejo con $A$ $B$ da como subcomplejos. A continuación,$B = (A\vee B)/A$.

2) $\varphi_n(S^k) = (-1)^kn$. Esto se deduce porque si $S^{k-1} \subset S^k$ es el ecuador, a continuación,$S^k/S^{k-1} = S^k \vee S^k$. Por lo $\varphi_n(S^k) = \varphi_n(S^{k-1}) + 2\varphi_n(S^k)$. Por lo $\varphi_n(S^k) = -\varphi_n(S^{k-1})$.

3) Deje $X^k$ $k$- esqueleto de la $X$. Supongamos que sabemos que para CW complejos de dimensión en la mayoría de los $k$, $\varphi_n(X) = n\tilde{\chi}(X)$. Entonces si $X$ es de dimensión $(k+1)$, $\varphi_n(X) = \varphi_n(X^k) + \varphi_n(\vee_\ell S^{k+1}) = (-1)^{k+1}\ell n$, donde $\ell$ es el número de $(k+1)$-células en $X$. Pero la reducción de la homología es precisamente el mismo que en la alternancia de la suma del número de células en cada dimensión, menos uno. Así, el resultado de la siguiente manera.