Por curiosidad, ¿alguien sabe lo que$\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{k=0}^n \cos(k)$ o$\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{k=0}^n \sin(k)$ son? Es bastante fácil ver que ambas sumas parciales están limitadas, pero ni siquiera tengo una idea de cuáles deberían ser sus respectivos supremos. Definitivamente algo no demasiado grande.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Thomas
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Como se muestra en el enlace que dio el dezdichado en los comentarios, podemos escribir
Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org
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y
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Puede probar que$\displaystyle\sum_{k = 0}^{n}\cos(k) = \sum_{k = 0}^{n}\dfrac{\cos(k)\sin (\tfrac{1}{2})}{\sin (\tfrac{1}{2})} = \sum_{k = 0}^{n}\dfrac{\sin(\tfrac{k+1}{2})-\sin(\tfrac{k-1}{2})}{2\sin (\tfrac{1}{2})}$ y$= \dfrac{\sin(\tfrac{n+1}{2})-\sin (-\tfrac{1}{2})}{2\sin (\tfrac{1}{2})} = \dfrac{\sin(\tfrac{n+1}{2})+\sin (\tfrac{1}{2})}{2\sin (\tfrac{1}{2})}$ utilizan argumentos similares a lo que se discute aquí .
La combinación de estos resultados da$\displaystyle\sum_{k = 0}^{n}\sin(k) = \sum_{k = 0}^{n}\dfrac{\sin(k)\sin (\tfrac{1}{2})}{\sin (\tfrac{1}{2})} = \sum_{k = 0}^{n}\dfrac{\cos(\tfrac{k-1}{2})-\sin(\tfrac{k+1}{2})}{2\sin (\tfrac{1}{2})}$ y$= \dfrac{\cos(-\tfrac{1}{2})-\cos(\tfrac{n+1}{2})}{2\sin (\tfrac{1}{2})} = \dfrac{\cos(\tfrac{1}{2})-\cos(\tfrac{n+1}{2})}{2\sin (\tfrac{1}{2})}$.
