Valor mínimo

Question

Permitir$x,y,z>0$ y$x+y+z=xyz$. ¿Cuál es el valor mínimo de$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}?$ $

En el caso en que$x=y=z$, la ecuación$x+y+z=xyz$ se traduce en$3x=x^3$, o$x=\sqrt{3}$. Si$A$ denota la cantidad que queremos minimizar, también$A=\sqrt{3}$.

Si usamos la desigualdad de los medios aritméticos y geométricos, obtenemos$$A\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=\frac{3}{\sqrt[3]{x+y+z}}.$ $

Answer 1

La restricción permite la sustitución$x=\tan A, y = \tan B, z = \tan C$ para algún triángulo agudo$\triangle ABC$. Además de la desigualdad de reordenación tenemos:$$\sum_{cyc} \frac{x}{y^2} \geqslant \sum_{cyc} \frac1x = \sum_{cyc} \cot A$ $

Ahora$x \mapsto \cot x$ es convexo para$x \in (0, \frac{\pi}2)$, por lo que podemos usar Jensen para concluir$$\sum_{cyc} \cot A \geqslant 3 \cot \frac{\pi}3$ $ La igualdad es cuando$x=y=z$.

Answer 2

Para$x=y=z=\sqrt3$ obtenemos un valor$\sqrt3$.

Vamos a probar que es un valor mínimo.

De hecho, necesitamos probar que$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\geq\sqrt{\frac{3(x+y+z)}{xyz}}$ $ o$$\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y^2}-\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)+\sum_{cyc}\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{3(x+y+z)}{xyz}}\geq0$ $ o$$\sum_{cyc}\frac{(x-y)^2}{y^2x}+\frac{xy+xz+yz-\sqrt{3xyz(x+y+z)}}{xyz}\geq0$ $ o$$\sum_{cyc}\frac{(x-y)^2}{y^2x}+\frac{\sum\limits_{cyc}z^2(x-y)^2}{2xyz\left(xy+xz+yz+\sqrt{3xyz(x+y+z)}\right)}\geq0.$ $ Hecho!

Answer 3

Desde nuestro restricción $x + y + z = xyz$, obtenemos que $z = \frac{x+y}{xy-1}$, cerrando en $$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}$$ obtenemos $$\frac{x}{y^2} + \frac{y(xy-1)^2}{(x+y)^2} + \frac{x+y}{x^2 (xy-1)}$$ Llamar a esto $f(x,y)$. A continuación, podemos encontrar un valor mínimo por hacer la segunda derivada de la prueba. En primer lugar, tenemos que encontrar los puntos críticos mediante el establecimiento de $$f(x,y) = \frac{x}{y^2} + \frac{y(xy-1)^2}{(x+y)^2} + \frac{x+y}{x^2 (xy-1)} = 0$$ Nos gustaría obtener algún par ordenado $(a, b)$ (puede haber más de un conjunto de puntos críticos - no puede ser infinitamente muchos, incluso!). De esto podemos calcular el estado de Hesse, $$H = \det \begin{pmatrix} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b)\end{pmatrix}$$ Para un mínimo queremos $H > 0$$f_{xx}(a,b) > 0$, una vez que nos encontramos con que culpable, hemos encontrado nuestro mínimo.

Answer 4

Dejar $x_1 = 1/x, y_1 = 1/y, z_1 = 1/z$. Entonces $x_1y_1 + x_1z_1 + y_1z_1 = 1$.

$ \ Sum_ {cyc} \ frac {x} {y ^ 2} \ geq \ sum_ {cyc} \ frac1x = x_1 y_1 z_1 $$

Debido a la desigualdad de reordenamiento$(x_1 + y_1 + z_1)^2 \geq 3(x_1y_1 + x_1z_1 + y_1z_1) = 3$. Asi que

$$ x_1 y_1 z_1 \ geq \ sqrt {3} $$