Utilizar la serie de Fourier de la función impar para evaluar $1-\frac15+\frac17-\frac1{11}+\cdots$

Question

Demostrar que la serie de Fourier de expansión para $f(x)$ es $$\frac2{\sqrt3}\left(\cos x-\frac{\cos5x}5+\frac{\cos7x}7-\frac{\cos11x}{11}+\cdots\right)$$ donde $$f(x)=\begin{cases}\dfrac\pi3&\text{for }x\in\left[0,\dfrac\pi3\right)\\[1ex]0&\text{for }x\in\left[\dfrac\pi3,\dfrac{2\pi}3\right)\\[1ex]-\dfrac\pi3&\text{for }x\in\left[\dfrac{2\pi}3,\pi\right)\end{cases}$$ y $f(x)=f(x+\pi)$ todos los $x\in\mathbb R$.

Intento:

$$f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n\ge1}(a_n\cos2nx+b_n\sin2nx)$$

donde

$$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\,\mathrm dx$$ $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos2nx\,\mathrm dx$$ $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin2nx\,\mathrm dx$$

Sé que $f(x)$ es impar, por lo $a_0=0$ $a_n=0$ todos los $n\in\mathbb N$. Para la sinusoidal de la serie, termino con, entre varias expresiones equivalentes,

$$b_n=\frac1{3n}\left(2-\cos\frac{2n\pi}3-\cos\frac{4n\pi}3\right)$$ $$b_n=\frac2{3n}\left(\sin^2\frac{2n\pi}3+\sin^2\frac{4n\pi}3\right)$$

lo que me da (el uso de $g$ a distinguir mi resultado de la esperada $f$)

$$g(x)=\sum_{n\ge1}\frac{c_n\sin2nx}n=\sin2x+\frac{\sin4x}2+\frac{\sin8x}4+\frac{\sin10x}5+\frac{\sin14x}7+\cdots$$

donde $c_n=1$ si $n$ no es un múltiplo de a $3$, e $0$ lo contrario. Trazado de las primeras sumas parciales sugiere que esta respuesta es tan válido como el sugerido.

¿Hay algún tipo de manipulación que puedo hacer para que mi resultado con el fin de obtener la solución a coincidir? O es que hay otra manera de encontrar la expansión de la serie para llegar al coseno de la serie directamente?

También hay una segunda parte del problema, que es

Mostrar que $$\frac\pi{2\sqrt3}=1-\frac15+\frac17-\frac1{11}+\cdots$$

que me puede llegar fácilmente desde la evaluación de $f(x)$ y la expansión de la $x=0$:

$$\frac\pi3=\frac2{\sqrt3}\left(1-\frac15+\frac17-\frac1{11}+\frac1{13}-\frac1{17}+\frac1{19}-\frac1{23}+\cdots\right)$$

pero no la puedo ver de inmediato la manera de utilizar las $g(x)$. A primera vista, la elección de $x=\dfrac\pi4$ parece ser la cosa correcta a hacer, pero esta rendimientos

$$\frac\pi3=1+\frac15-\frac17-\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{17}-\frac1{19}-\frac1{23}+\cdots$$

Answer 1

Usted necesita para hacer una incluso $2\pi$-periódico extensión de la función de $f$, es decir, definir $\tilde{f}$ tal que

$$ \tilde{f}(-x) = \tilde{f}(x) $$

y

$$ \tilde{f}(x) = f(x) ~~~\mbox{para}~~ 0 < x < \pi $$

Desde $\tilde{f}$ es periódica, la única coeficientes de Fourier que no son trivialmente cero son

$$ a_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\rm d}x~\tilde{f}(x)\cos n x $$

Después de evaluar la integral consigue $a_0 = 0$ y

$$ a_{n} = \frac{2}{3n}\left[\sin \frac{n\pi}{3} + \sin\frac{2n\pi}{3} -\sin n\pi \right] ~~~ n \ge 1 $$

He aquí una reconstrucción de la función con el menor de 60 modos de $n \le 60$

$$ \tilde{f}(x) = \sum_{n\ge 1} a_n \cos nx $$

Con esto se puede resolver el segundo problema

$$ f(0) = \frac{\pi}{3} = \sum_{n\ge 1} a_n = \frac{2}{\sqrt{3}}\left[ 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdots \right] $$

o, equivalentemente,

$$ \frac{\pi}{2\sqrt{3}} = 1 -\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdots $$

Answer 2

Está iluminando a la trama de las dos series que he llegado con. Para la suma de los primeros 10 términos en coseno de Fourier de la serie $f(x)$, obtenemos

Plot[(2/Sqrt[3]) Sum[
 Cos[(6 n + 1) x]/(6 n + 1) - Cos[(6 n + 5) x]/(6 n + 5), {n, 0,  9}],
 {x, -\[Pi], 2 \[Pi]}, PlotPoints -> 30]

Por el contrario, los diez primeros términos de la transformada de Fourier senoidal de la serie $g(x)$ rendimientos

 Plot[Sum[Boole[Not[Divisible[n, 3]]] Sin[2 n x]/n, {n, 1, 15}], {x, -\[Pi], 2 \[Pi]}]

Dejando a un lado los diferentes tipos de convergencia, lo que es evidente es que las dos series están de acuerdo sólo para$x\in[0,\pi)$; $x\in [-\pi,0)$ ha $f(-x)=f(x)$ pero $g(x)=-g(x)$. Otra consecuencia es que, de las dos series, sólo en el seno de la serie $g(x)$ dispone de las oportunas $x\to x+\pi$ periodicidad. El coseno de Fourier de la serie, de hecho satisface $f(x+\pi)=-f(x)$ es decir $f(x)$ $\pi$-antiperiodic. Por lo tanto el coseno de Fourier de la serie dada en realidad no satisfacer la condición de periodicidad pide.