Como en el título, tenemos el producto $$\prod_{k=1}^n \left(\prod_{j=1}^k\frac{k}{j}\right)$$ para que queremos mostrar que es entero para cada $n \in \mathbb{N}$ ($n > 0$).
Hasta ahora me he librado del producto interior signo, y llegado $$\prod_{k=1}^n \frac{k^k}{k!}$$ Ahora, cada una de las $a$ se produce $n + 1 - a$ veces en el denominador, por lo que también podemos escribir como $$\prod_{k=1}^n \frac{k^k}{k^{n+1-k}} = \prod_{k=1}^n \frac{k^{2k}}{k^{n+1}}=\frac{\prod_{k=1}^n k^{2k}}{\left(n!\right)^{n+1}}$$ Ahora he intentado argumentando que todo (tal vez cada prime) $p$ se produce en el denominador $a(n+1)$ veces y $2p + 4p + ...+ 2ap = pa(a+1)$ veces en el denominador, al $a=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor$, y que, cuando se comparan estos dos, nos encontramos con que $pa(a+1) \geq a(n+1)$, ya que el $p(a+1) > n$, y que por lo tanto cada factor debe ocurrir más a menudo en el numerador que en el denominador. Sin embargo, creo que este se enfrenta a algunos problemas cuando algunos poderes de $p$ son inferiores a $n$, ya que estos también tienen que ser cancelado, pero ya son utilizados para cancelar $p$ itsself.
Por lo tanto, mi pregunta es cómo completar esta manera de demostrar la afirmación y cómo lidiar con el problema de la energía, o cómo encontrar una solución diferente.
