Parte fraccional de $1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$ denso en $(0,1)$

Question

Es la secuencia de las $(x_n)_{n=1}^\infty$ donde $x_n$ es la parte fraccionaria de $1+\frac{1}{2}+\dots+\frac1n$, densa en $(0,1)$? La parte fraccionaria de un número $y$ se define como $y-\lfloor y\rfloor$.

Para una secuencia como $a,2a,3a,\dots$ donde $a$ es un número irracional, es sabido que la parte fraccionaria de la secuencia es densa. (Creo que incluso hay un nombre para este resultado, pero no puedo recordar.) La prueba utiliza una caja de estilo de argumento para demostrar que la secuencia debe caer en cualquier pequeño intervalo de $(0,1)$ y se basa en la linealidad de la secuencia, que no tenemos en nuestra secuencia.

Answer 1

La secuencia es divergente. Que $N>0$. Después del término de $N$-th, los términos sucesivos son $<1/N$ aparte. Finalmente la secuencia pasa un entero $K$ y más adelante $K+1$. Cada punto en el intervalo $[K,K+1]$ es entonces dentro de $1/N$ de una $x_n$. Tan las partes fraccionarias de $x_n$ son densas en $[0,1]$.

Answer 2

Sí es denso

Considerar partir $[0,1)$ en sub intervalos $\left[0,\frac1m\right)$, $\left[\frac1m,\frac2m\right)$, $\ldots$, $\left[\frac{m-1}m,1\right)$ % entero arbitrario $m$

Ahora mira $x_n$ $n=m,m+1,\ldots, 4m$. Esto será lazo redondo al menos una vez como $\frac1{m+1}+\frac1{m+2}+\cdots +\frac1{2m}+\frac1{2m+1}+\cdots +\frac1{4m} \gt m\times \frac1{2m}+2m\times \frac1{4m}=1$ (también $\log(4m)-\log(m)=\log(4)>1$) y golpeará cada subintervalo por lo menos una vez ya que cada paso es menor que $\frac1m$. Así que no extrañaremos subintervalo.

Desde $\frac1m$ puede ser hecho arbitrariamente pequeño, esto se traduce en $(x_n)_{n=1}^\infty$ siendo denso en $[0,1)$