Mazur ' s base débil Teorema

Question

Es el Ejercicio 1.1 en Temas de Espacio de Banach Teoría por Albiac y Kalton para demostrar Mazur Débil del Teorema de la Base, la cual establece que cada débil base en un espacio de Banach $X$ es una base de Schauder, donde la débil base se define como sigue:

Una secuencia $(e_n)_n$ en un espacio de Banach $X$ se llama una débil base para $X$ si para cada a $x\in X$ existe una única secuencia de escalares $(a_n)$ tal que $x=\sum_{k=1}^\infty a_ke_k$ en la topología débil.

He intentado mostrar, en vano, que $\lVert\sum^n a_kx_k\rVert\rightarrow\lVert x\rVert$, de modo que sería inmediatamente después de que $\sum^n a_ne_n\overset{\lVert\cdot\rVert}{\rightarrow}x$. Me gustaría sugerencias sobre cómo proceder.

Answer 1

Definir el cierre de la lineal casco de la $(x_k)$ en el fuerte topología $$ C = \operatorname{cl \ span}\{x_k, k\in\mathbb N\}. $$ Es convexo y cerrado. Tenemos que mostrar que $C=X$ bajo la condición de debilidad de la base. Deje $x\in X\setminus C$ ser dado. Entonces podemos separar $x$$C$$f\in X^*$: No es $\epsilon>0$ tal que $$ f(x) + \epsilon \le f(y) \quad\forall y\en C. $$ Desde $C$ es un espacio lineal, $f(y)=0$ todos los $y\in C$. En particular, $f(x_k)=0$ todos los $k$. Por supuesto, hay una secuencia $(a_k)$ tal que $\sum_{k=1}^n a_kx_k$ converge débilmente a$x$$n\to\infty$. Esto implica $$ f(x) = \lim_{n\to\infty} f(\sum_{k=1}^n a_kx_k) = \lim_{n\to\infty} \sum _{k=1}^n a_k f(x_k)=0, $$ que es una contradicción a $f(x)+\epsilon<0$.